第6讲正弦定理和余弦定理分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·湖州模拟)在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状是()．A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析由正、余弦定理得2··a＝c，整理得a＝b，故△ABC为等腰三角形．答案B2．(·金华十校二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝()．A．30°B．60°C．120°D．150°解析由a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，得a2＝bc＋b2，＝2.由余弦定理，得cosA＝＝＝－＝－＝，所以A＝30°，故选A.答案A3．(·绍兴模拟)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝()．A.B.C.D．2解析 A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°.又 a＝1，b＝，∴＝，∴sinA＝＝×＝，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝×1×＝.答案C4．(·湖南)在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()．A.B.C.D.解析设AB＝c，BC边上的高为h.由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BC·ccos60°，即7＝c2＋4－4ccos60°，即c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)．又h＝c·sin60°＝3×＝，故选B.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．解析由题可知，sinB＋cosB＝，所以sin＝，所以B＝，根据正弦定理可知＝，可得＝，所以sinA＝，又a＜b，故A＝.答案6．(·丽水一模)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝6cosC，则＋的值是________．解析由＋＝6cosC，得＝6·，即a2＋b2＝c2，∴＋＝tanC＝＝＝4.答案4三、解答题(共25分)7．(12分)(·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cosB的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．解(1)由已知2B＝A＋C，三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cosB＝cos60°＝.(2)由已知b2＝ac，据正弦定理，设＝＝＝k，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，代入b2＝ac，得sin2B＝sinAsinC，即sinAsinC＝sin2B＝1－cos2B＝.8．(13分)(·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解(1)由bsinA＝acosB，可得sinBsinA＝sinAcosB，又sinA≠0，可得tanB＝，所以B＝.(2)由sinC＝2sinA，可得c＝2a，在△ABC中，9＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－2a2＝3a2，解得a＝，所以c＝2a＝2.分层B级创新能力提升1．(·温州模拟)在△ABC中，A＝60°，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为()．A．2B．3C．4D．5解析由A＝60°，不妨设△ABC中最大边和最小边分别为b，c，故b＋c＝7，bc＝11.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝72－3×11＝16，∴a＝4.答案C2．(·杭州联考)已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于()．A．3＋B．3C．2＋D.解析由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即a2＋c2－ac＝3.又△ABC的面积为acsin＝，即ac＝2，所以a2＋c2＋2ac＝9，所以a＋c＝3，即a＋c＋b＝3＋，故选A.答案A3．(·金华模拟)在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．解析x＝＝＝sinA＋cosA＝sin.又A∈，∴
