高三数学第一轮复习：空间向量及其运算【本讲主要内容】空间向量及其运算空间向量的概念、加法、减法、数乘、数量积的定义及其性质、运算．【知识掌握】【知识点精析】（一）空间向量及其加减与数乘运算1.空间向量的有关概念（1）把具有大小和方向的量叫做向量，其长度叫做空间向量的模．（2）同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．2.空间向量的加法与数乘向量运算满足如下运算律（1）加法交换律：（2）加法结合律：（3）数乘分配律：3.共线向量与共面向量（1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合．记作∥．共线向量定理：对空间任意两个向量，，∥的充要条件是存在实数（具有唯一性），使．推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t，满足等式．①其中向量叫做直线l的方向向量．在l上取，则①式可化为，或②当，点P是线段AB的中点，则③①或②都叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式．（2）共面向量：若向量使之平行于平面或在内，则与的关系是平行，记作∥．共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x、y使．推论1：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对使或对空间一点O，有①①式叫做平面MAB的向量表示式．推论2：空间任一点O和不共线三点A、B、C，则是P，A，B，C四点共面的充要条件．（简证：用心爱心专心P、A、B、C四点共面）注：推论1和推论2是证明四点共面的常用方法．4.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使．由此可知，如果三个向量不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是．这个集合可看作是由生成的，把{}叫做空间的一个基底，都叫做基向量．推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z使（这里隐含x＋y＋z≠1）．注：设四面体ABCD的三条棱，其中Q是△BCD的重心，则向量（用即证）．5.两个向量的数量积（1）已知空间向量则叫做向量的数量积，记作．即＝（2）性质：①．②．③（3）运算律：①②（交换律）．③（分配律）*（二）空间向量的坐标运算1.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵坐标），z轴是竖轴（对应为竖坐标）．①令＝（a1,a2,a3）,，则，∥（用到常用的向量模与向量之间的转化：）②空间两点的距离公式：．2.法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如用心爱心专心果那么向量叫做平面的法向量．3.应用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为．②利用法向量求二面角的平面角定理：如图，设分别是二面角中平面的法向量，则夹角的大小就是所求二面角的平面角或其补角的大小．③证直线和平面平行定理：如图，已知直线平面，，且C,D,E三点不共线，则∥的充要条件是存在有序实数对使．（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）．④证直线和平面垂直定理：设是平面的一个法向量，AB，CD是平面内的两条相交直线，若，，则【解题方法指导】例1.判断下列命题的真假①若与共线，与共线，则与共线．（×）[当时，不成立]②向量共面即它们所在直线共面．（×）[可能异面]③若∥，则存在一实数，使．（×）[与不成立]④若为非零向量，则．（√）[这里用到之积仍为向量]例2.如图，边长为2的正方形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，AB＝AD，，，，垂足为M．（Ⅰ）求：异面直线BD与CF所成角的大小；（Ⅱ）求二面角的大小．用心爱心专心解：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴异面直线BD与CF所成角的大小为900．（II）设n＝（x，y，z，）为平面CFD的法向量，，由，，令，则，，平面平面的法向量．则．二面角的大小为．【考点突破】【考点指要】随着新教材的逐步推广、使用，“向量”将会成为高考命题的热点，一般选择题、填空题重在考查向量的概念，数量积及其运算率．2005年全国16套试卷中，有12套...
