高三数学培养直觉思维,提高学生素质VIP专享VIP免费

培养直觉思维，提高学生素质湖南宁乡一中黎国之（地址：湖南宁乡县玉潭镇二环西路100号，邮箱hunanliguozhi@126.com邮编410600）数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守数学概念和逻辑演绎的规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，它直接领悟事物本质，是一种跳跃式的预见，因此大大缩短思考时间。虽然逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位，但直觉是思维活动中最活跃、最积极、最具有创造性的思维，两者具有辨证互补的关系，即所谓“大胆假设，小心求证”。事实上，自然科学史上的许多发现和发明，文学艺术方面的许多生花妙笔，政治领域的许多不朽佳构，经济领域的许多经典杰作，军事史上许多奇谋异略，刑事侦查方面的许多巧推妙断，往往都离不开直觉思维的作用。因此，作为选拔人才的高考命题人，很自然要考虑对考生直觉思维能力的考查。笔者经过对近几年高考数学试卷的分析证实了这一点。可见，在平时的教育教学中高度重视直觉思维的培养乃是顺理成章的事情，是真正意义上的素质教育。培养数学直觉思维，可以从特殊结构（包括代数式的结构、图形的结构、问题的结构）、特殊数值、特殊位置、变化趋势、变化极限、范围估计、运算结果、特殊联系等方面来进行。下面以解填空题选择题为例分类说明。一、从特殊结构入手【例题1】一个正四面体，各棱长均为，则对棱的距离为多少？此题情境设置简洁，解决方法也多，通常可以考虑作出对棱的公垂线段再转化为直角三角形求解。不过若能意识到把这个正四面体置于一个正方体结构中（如图1），则瞬间得到结果，就是该正方体的棱长，为1。图1【例题2】已知且那么的最小值是。我们当然可以用消元的方法求解，不过由式子的结构联想到两点的距离公式，则式子可以看作是直线上的动点P（）到定点Q（2，3）的距离的平方，由点到直线距离公式知。所以答案为18。二、从特殊数值入手【例题3】、已知，则的值为（）A、B、或C、D、由题目中出现的数字3、4、5是勾股数以及的范围，直接意识到，从而得到，选C。【例题4】、△ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（）用心爱心专心A、B、C、1D、本题选自某一著名的数学期刊，作者提供了下列“标准”解法，特抄录如下供读者比较：设y=cosAcosBcosC，则2y=[cos（A+B）+cos（A-B）]cosC，∴cos2C-cos（A-B）cosC+2y=0，构造一元二次方程x2-cos（A-B）x+2y=0，则cosC是一元二次方程的根，由cosC是实数知：△=cos2（A-B）-8y≥0，即8y≤cos2（A-B）≤1，∴，故应选B。这就是“经典”的小题大作！事实上，由于三个角A、B、C的地位完全平等，直觉告诉我们：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60゜即得答案B，这就是直觉法的威力，这也正是命题人的真实意图所在。三、从特殊位置入手【练习5】、如图2，已知一个正三角形内接于一个边长为的正三角形中，问取什么值时，内接正三角形的面积最小（）A、B、C、D、图2显然小三角形的端点位于大三角形边的中点时面积最小，选A。【例题6】、双曲线的左焦点为F，点P为左支下半支异于顶点的任意一点，则直线PF的斜率的变化范围是（）A、B、C、D、图3进行极限位置分析，当P时，PF的斜率；当时，斜率不存在即或；当P在无穷远处时，PF的斜率。选C。四、从变化趋势入手【例题7】、（06年全国卷Ⅰ，11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？（）A、8cm2B、6cm2C、3cm2D、20cm2此三角形的周长是定值20，当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积为cm2，选B。【例题8】、（07海南、宁夏理11文12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中个射箭20次，三人测试成绩如下表：分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）A、B、C、D、我们固然可以用直接法算出答案来，标准答案也正是这样做的，但是显然时间会花得多。凭直觉你可以估计到：它们的期望值相同，离开期望值比较近的数据越多，则方差——等价于标准差...