江苏省南通市如东县栟茶高级中学2015届高三上学期第二次学情调研数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B=．2．（5分）复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为．3．（5分）抛物线y=﹣4x2的准线方程是．4．（5分）若ac＞0且bc＜0，直线ax+by+c=0不通过第象限．5．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为．6．（5分）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为．7．（5分）△ABC中，若sin（π﹣A）=，tan（π+B）=，则cosC=．8．（5分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=．9．（5分）若双曲线﹣=λ（λ≠0）的一条渐近线方程是y=2x，则离心率e的值为．10．（5分）下列有关命题的说法正确的是．①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”；②已知x＞0时，（x﹣1）f′（x）＜0，若△ABC是锐角三角形，则f（sinA）＞f（cosB）；③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；④命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1＞0”．111．（5分）已知A（﹣2，0），B（2，0），点P在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上，满足PA2+PB2=40，若这样的点P有两个，则r的取值范围是．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集为．13．（5分）O为△ABC的外接圆圆心，AB=10，AC=4，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则=．14．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数f（x）=2（）•，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．16．（14分）在正四面体ABCD中，点F在CD上，点E在AD上，且DF：FC=DE：EA=2：3．证明：（1）EF∥平面ABC；（2）直线BD⊥直线EF．17．（14分）某小区想利用一矩形空地ABCD建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中，∠EGF=90°，经测量得到AE=10m，EF=20m．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一条直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场．（Ⅰ）假设DN=x（m），试将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数，并注明函数的定义域；2（Ⅱ）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．18．（16分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19．（16分）已知函数f（x）=x•lnx，g（x）=ax3﹣．（1）求f（x）的单调增区间和最小值；（2）若函数y=f（x）与函数y=g（x）在交点处存在公共切线，求实数a的值；（3）若x∈（0，e2]时，函数y=f（x）的图象恰好位于两条平行直线l1：y=kx；l2：y=kx+m之间，当l1与l2间的距离最小时，求实数m的值．20．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R），F（x）=．（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）设mn＜0，m+n...
