一道高考题的变式及多种解法高考原题：（06年四川卷11题）设分别为的三内角所对的边，则是的（）（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件正确答案：（06年四川卷11题改编）△ABC中，三个内角A、B、C的对边为a、b、c．求证：a2=b2+bc是A=2B的充要条件．解：法一：∵a2=b2+bc，∴a＞b，a＞c，从而A＞B，A＞C，∴由余弦定理a2=b2+c2－2bc·cosA，得bc=c2－2bc·cosA，即b=c－2bc·cosA，由正弦定理得sinB=sinC－2sinB·cosA，即sinB=sin（A+B）－2cosA·sinB，∴sinB=sin（A－B），则B=A－B或B=p－（A－B），∴A=2B或A=p（舍去）．以上各步可逆，故a2=b2+bc是A=2B的充要条件．法一的变化：∵a2=b2+bc，∴由余弦定理cosB=由正弦定理得即∴即，∵∴∴A=2B法二：∵A=2B，∴，得．又∵，∴Þa2c=a2b+c2b－b3，结合待证式，有a2（c－b）=b（c2－b2）=b（c－b）（c+b），∴c=b或a2=b（b+c）．当c=b时，结合A=2B，亦有a2=b（b+c）．以上各步可逆，故a2=b2+bc是A=2B的充要条件．反之亦然，即，∴sinA=2sinBcosB=sin2B，故。法三：该题根据命题的特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决？在△ABC中，延长BA到D，使AD=AC=b，连结CD（图1），则ÐBAC=2ÐD=2ÐACD，又因为故ÐACD=ÐB，CD=a，∴△ACD∽△CBD．有，∴a2=b（b+c）．以上各步可逆，故a2=b2+bc是A=2B的充要条件．法三的变化：由题设，得①做出（图2），延长到使连结，①式表示的即是用心爱心专心ABDCbb图1Daa所以∽，所以又可知所以因为所以。法四：由正弦定理a2=b2+bcÛsin2A=sin2B+sinBsinCÛÛcos2B=cos2A－[cos（A+2B）－cosA]Ûcos2B+cos（A+2B）=cos2A+cosAÛÛA=2B．法四的变化：由正弦定理a2=b2+bcÛsin2A=sin2B+sinBsinCÛÛsin（A+B）sin（A－B）即，∵∴∴A=2B法四的再变化：由正弦定理a2=b2+bcÛsin2A=sin2B+sinBsinCsin（A+B）sin（A－B）即，∵∴∴A=2B解后反思：注重教材习题，在解题中的灵活运用，sin2A－sin2B=sin（A+B）sin（A－B）（人教版教材第一册（下）P41第7题）．法五：该题若用余弦定理如何解决？利用余弦定理，由，得所以因为是的内角，所以。用心爱心专心cABab21图2图2C
