(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题1．已知函数f(x)＝x2－4x，x∈[1,5]，则函数f(x)的值域是()A．[－4，＋∞)B．[－3,5]C．[－4,5]D．(－4,5]【解析】∵函数f(x)＝x2－4x的对称轴的方程为x＝2，∴函数f(x)＝x2－4x，x∈[1,5]的最小值为f(2)＝－4，最大值为f(5)＝5，∴其值域为[－4,5]．【答案】C2．函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，那么()A．a∈(－∞，－1)B．a＝2C．a≤－2D．a≥2【解析】∵函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b为二次函数且开口向上，其对称轴方程为x＝－＝.若使y＝3x2＋2(a－1)x＋b在(－∞，1)上是减函数，则≥1，解得a≤－2.【答案】C3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(||)＜f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】∵f(x)在R上为减函数且f(||)＜f(1)，∴||＞1，即|x|＜1且x≠0，得－1＜x＜0或0＜x＜1.【答案】C4．(2009年邵武模拟)定义新运算：当a≥b时，ab＝a；当a＜b时，ab＝b2，则函数f(x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值等于()A．－1B．1C．6D．12【解析】由题意知当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2，又∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域上都为增函数，∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.【答案】C5．函数y＝f(x)对于任意x、y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x＞0时，f(x)＞1，且f(3)＝4，则()用心爱心专心1A．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3B．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3C．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2D．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝2【解析】设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－1－f(x2)＝f(x1－x2)－1＞1－1＝0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)为增函数．又∵f(3)＝f(1)＋f(2)－1＝f(1)＋f(1)＋f(1)－1－1＝3f(1)－2，∴f(1)＝2.【答案】D二、填空题6．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是________．【解析】∵当x≥1时，y＝logax单调递减，∴0＜a＜1；而当x＜1时，f(x)＝(3a－1)x＋4a单调递减，∴a＜；又函数在其定义域内单调递减，故当x＝1时，(3a－1)x＋4a＞logax，得a＞，综上可知，＜a＜.【答案】＜a＜7．y＝的递减区间是______，y＝的递减区间是______．【解析】y＝＝－1＋，定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，∴该函数的递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)．对于函数y＝，其定义域为－1＜x≤1.由复合函数的单调性知它的递减区间为(－1,1]．【答案】(－∞，－1)和(－1，＋∞)(－1,1]8．(2008年湖南高考)设[x]表示不超过x的最大整数，如[2]＝2，[]＝1，对于给定的n∈N*，定义Cnx＝，x∈[1，＋∞)，则C8＝________；当x∈[2,3)时，函数C8x的值域是________．【解析】当x＝时，[]＝1，C8＝＝；当x∈[2,3)时，[x]＝2，Cnx＝，C8x＝＝.又∵当x∈[2,3)时，f(x)＝x(x－1)∈[2,6)，∴∈(，28)，∴C8x∈(，28]．【答案】(，28]三、解答题9．判断f(x)＝在(0,1]上的单调性．用心爱心专心2【解析】f(x)＝在(0,1]上为减函数．证明如下：方法一：设x1，x2∈(0,1]，且x1＜x2.则f(x1)－f(x2)＝－＝＝＝∵x1，x2∈(0,1]且x1＜x2，∴－＞0,1－＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)＝在(0,1]上是减函数．方法二：∵f(x)＝＝＋＝x－＋x，∴f′(x)＝－x－＋x－＝－＋＝又∵0＜x≤1，∴≤0(当且仅当x＝1时取等号)，∴f(x)在(0,1]上为减函数．10．(2009年广州模拟)已知函数f(x)自变量取值区间A，若其值域区间也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．(1)求函数f(x)＝x2形如[n，＋∞)(n∈R)的保值区间；(2)g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，求m的取值范围．【解析】(1)若n＜0，则n＝f(0)＝0，矛盾．若n≥0，则n＝f(n)＝n2，解得n＝0或1，所以f(x)的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)．(2)因为g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，所以2＋m＞0，即m＞－2，令g′(x)＝1－＞0，得x＞1－m，所以g(x)在(1－m，＋∞)上为增函数，同理可得g(x)在(－m,1－m)上为减函数．若2≤1－m即m≤－1时，则g(1－m)＝2得m＝－1满足题意．若m＞－1时，则g(2)＝2，得m＝－1，矛盾．所以满足条件的m值为－1.用心爱心专心3
