第五章第二节平面向量的基本定理及坐标运算题组一平面向量基本定理及其应用1.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC�＝a，BD�＝b，则AF�＝()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：如图所示，由△DEF∽△BEA知AF�＝AC�＋CF�＝a＋CD�＝a＋(b－a)＝a＋b.答案：B2．如图所示，已知四边形ABCD内接于圆O，且AC是圆O的直径．BCDE是平行四边形，若OA�＋OB�＋OD�＝xOE�，则实数x＝________.解析：∵OA�＋OB�＋OD�＝CO�＋OB�＋OD�＝CB�＋OD�＝DE�＋OD�＝OE�，∴x＝1.答案：13．在▱ABCD中，AB�＝a，AD�＝b，AN�＝3NC�，M为BC的中点，则MN�＝________(用a、b表示)．解析：由AN�＝3NC�得4AN�＝3AC�＝3(a＋b)，AM�＝a＋b，所以MN�＝(a＋b)－(a＋b)＝－a＋b.答案：－a＋b题组二平面向量的坐标运算4.在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且AG�＝2GD�，则点C的坐标是()A．(－4,2)B．(－4，－2)C．(4，－2)D．(4,2)解析：设C(x，y)，则D(，)，再由AG�＝2GD�得(0，－4)＝2(，)，∴4＋x＝0，－2＋y＝－4，即C(－4，－2)．答案：B5．若α，β是一组基底，向量γ＝x·α＋y·β(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐1标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()A．(2,0)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)解析：由已知a＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)，设a＝λm＋μn＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)，则由⇒，∴a＝0m＋2n，∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．答案：D6．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且AC�＝2CB�，则实数a等于()A．2B．1C.D.解析：设C(x，y)，则AC�＝(x－7，y－1)，CB�＝(1－x,4－y)，∵AC�＝2CB�，∴，解得.∴C(3,3)．又∵C在直线y＝ax上，∴3＝a·3，∴a＝2.答案：A题组三平行(共线)向量的坐标表示7.(2009·北京高考)已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)．依题意d＝a－b＝(1，－1)，又c＝ka＋b＝(k,1)，∵c∥d，∴12－(－1)·k＝0，∴k＝－1，又k＝－1时，c＝(－1,1)＝－d，∴c与d反向．答案：D8．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝(，1＋sinθ)，且a∥b，则锐角θ等于()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：由a∥b可得(1－sinθ)(1＋sinθ)－＝0，即cosθ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°.答案：B9．已知a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝xb＋yc的实数x，y的值；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值．2解：(1)∵a＝xb＋yc，∴(3,2)＝x(－1,2)＋y(4,1)＝(－x＋4y,2x＋y)．∴解得(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，且a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝2(－1,2)－(3,2)＝(－5,2)，∴2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，解得k＝－.题组四平面向量基本定理及坐标表示的综合应用10.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1)，B(－1，3)，若点C满足|CA�＋CB�|＝|CA�－CB�|，则C点的轨迹方程是()A．x＋2y－5＝0B．2x－y＝0C．(x－1)2＋(y－2)2＝5D．3x－2y－11＝0解析：由|CA�＋CB�|＝|CA�－CB�|知CA�⊥CB�，所以C点的轨迹是以A、B为直径的两个端点的圆，圆心坐标为线段AB的中点(1,2)，半径等于，所以C点的轨迹方程是(x－1)2＋(y－2)2＝5.答案：C11．△ABC的三个内角，A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)与q＝(b－a，c－a)是共线向量，则角C＝________.解析：∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，∴a2＋b2－c2＝ab.∴cosC＝＝，∴C＝60°.答案：60°12.如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解：法一：设OP�＝tOB�＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP�＝OP�－OA�＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，AC�＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP�，AC�共线的充要条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝.∴OP�＝(4t,4t)＝(3,3)．∴P点坐标为(3,3)．法二：设P(x，y)，则OP�＝(x，y)，OB�＝(4,4)．∵OP�，OB�共线，∴4x－4y＝0.①又CP�＝(x－2，y－6)，CA�＝(2，－6)，且向量CP�、CA�共线．∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②3解①，②组成的方程组，得x＝3，y＝3，∴点P的坐标为(3,3)．4
