课时作业22向量数量积的运算律(限时：10分钟)1．已知|a|＝2，b是单位向量，且a与b夹角为60°，则a·(a－b)等于()A．1B．2－C．3D．4－解析：a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×1×cos60°＝3，选C.答案：C2．已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝()A．0B．2C．4D．8解析：|2a－b|＝＝＝2，选B.答案：B3．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．解析：∵(a＋2b)·(a－b)＝－2，∴a2＋a·b－2b2＝－2，∴4＋a·b－8＝－2，a·b＝2，∴cos〈a，b〉＝＝＝.又∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝.答案：4．已知在△ABC中，|AB|＝3，|BC|＝8，∠ABC＝60°，则|AC|＝________.解析：∵AC＝BC－BA，∴|AC|2＝(BC－BA)2＝|BC|2＋|BA|2－2BC·BA＝82＋32－2×8×3×cos60°＝49，∴|AC|＝7.答案：75．已知|a|＝4，|b|＝5，|a＋b|＝，求：(1)a·b.(2)(2a－b)·(a＋3b)．解析：(1)因为|a＋b|＝，所以21＝a2＋b2＋2a·b.又|a|＝4，|b|＝5，所以a·b＝＝－10.(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2－3b2＋5a·b＝2×42－3×52＋5×(－10)＝－93.(限时：30分钟)1．若|a|＝6，|b|＝1，a·b＝－9，则a与b的夹角是()A．120°B．150°C．60°D．30°解析：设a与b的夹角为θ，a·b＝|a||b|cosθ＝6×1×cosθ＝－9⇒cosθ＝－⇒θ＝150°.答案：B2．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b解析：|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，即2a·b＝－2a·b，所以a·b＝0，a⊥b.故选B.答案：B3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2B．4C．6D．12解析：a·b＝|a|×4cos60°＝2|a|，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，即|a|2－a·b－6|b|2＝－72，故|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6.答案：C4．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A.B.C.D．4解析：∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋9b2＋6a·b＝1＋9＋6|a||b|cos60°＝13，∴|a＋3b|＝.答案：C5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则AP·(PB＋PC)等于()A.B.C．－D．－解析：∵AM＝1，且AP＝2PM，∴|AP|＝.如图，AP·(PB＋PC)＝AP·2PM＝AP·AP＝AP2＝2＝.答案：A6．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为()A．－6B．6C．3D．－3解析：∵c·d＝0，∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，∴2k＝12，∴k＝6.答案：B7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝__________.解析：因为|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝12－2×1×2cos60°＋22＝3，故|a－b|＝.答案：8．等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝2，则AB·BC＝__________.解析：AB·BC＝|AB||BC|cos135°＝2×2×＝－4.答案：－49．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为__________．解析：∵(a＋2b)·(a－b)＝－6，∴a2＋a·b－2b2＝－6.∴1＋a·b－2×4＝－6.∴a·b＝1.∴cos〈a，b〉＝＝＝.∴〈a，b〉＝.答案：10．已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取得最小值时，(1)求t的值(用a，b表示)；(2)求证：b与a＋tb垂直．解析：(1)|a＋tb|2＝a2＋t2b2＋2ta·b＝b22＋a2－.当t＝－时，|a＋tb|取最小值．(2)因为：(a＋tb)·b＝a·b＋tb2＝a·b－×b2＝0，所以a＋tb与b垂直．11．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|.解析：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝，|a|＝1，∴b2＝a2－＝1－＝，∴|b|＝.∴cosθ＝＝＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.(2)|a＋b|＝＝＝.12．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．解析：假设存在满足条件的θ，∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2.∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)．∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0.∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0.∴解得cosθ∈.又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.故当θ∈时，|a＋b|＝|a－b|成立．
