课时作业21向量数量积的物理背景与定义(限时：10分钟)1．若a·b＞0，则a与b的夹角θ的取值范围是()A.B.C.D.解析：∵a·b＞0，∴cosθ＞0.又0≤θ≤π，∴0≤θ＜，选A.答案：A2．已知|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a在b方向上的射影的数量是()A．－B．－1C.D．1解析：a在b方向上的射影的数量为|a|cosθ＝＝1，选D.答案：D3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析：设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.又0≤θ≤π，故θ＝，选C.答案：C4．已知|a|＝4，且a·b＝16，若a在b方向上的射影数量为4，则|b|＝________.解析：由题意，得＝4，即＝4，得|b|＝4.答案：45．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，求a在b方向上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数量．解析：因为|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，所以a在b方向上的正射影的数量是|a|cosθ＝＝－，b在a方向上的正射影的数量是|b|cosθ＝＝－4.(限时：30分钟)1．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝()A．1B．2C．3D．4解析：a·b＝|a|·|b|·cos30°＝2×＝3，选C.答案：C2．设向量a·b＝40，|b|＝10，则a在b方向上的数量为()A．4B．4C．4D．8＋答案：A3．有下列四个式子：①0·a＝0；②0·a＝0；③0－MN＝NM；④|a·b|＝|a||b|，其中正确的个数为()A．4个B．3个C．2个D．1个解析：只有③正确，选D.答案：D4．等边三角形ABC的边长为1，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝()A．3B．－3C.D．－解析：如图，a·b＋b·c＋c·a＝cos120°＋cos120°＋cos120°＝3cos120°＝3×＝－，选D.答案：D5．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论：①AH·(AC－AB)＝0；②AB·BC＜0⇒△ABC为钝角三角形；③AC·＝csinB；④BC·(AC－AB)＝a2.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：C6．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是()A.B.C.D.解析：如图，在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中，∵|a＋b|＝|a－b|，∴四边形ABCD为矩形．在Rt△ABD中，|a－b|＝2|a|，∴∠ABD＝.∴a＋b和a－b的夹角为.答案：C7．已知a⊥b，且|a|＝5，|b|＝12，则|a－b|＝________.解析：如图，|a－b|＝|AB|＝＝＝13.答案：138．对于任意向量a，b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝|a|·|b|·sinθ(其中θ为a与b的夹角)．利用这个新知识解决：若|a|＝1，|b|＝5，且a·b＝4，则a⊗b＝________.解析：设a与b的夹角为θ，则由题意得1×5×cosθ＝4，cosθ＝.又0≤θ≤π，故sinθ＝，从而a⊗b＝1×5×＝3.答案：39．已知|a|＝4，|b|＝5，则a在b上的射影数量与b在a上的射影数量的比值λ＝________.解析：由题意，得λ＝＝＝.答案：10．如图，在平行四边形ABCD中，已知|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°.求：(1)AD·BC.(2)AB·CD.(3)AB·DA.解析：(1)因为AD与BC平行且方向相同，所以AD与BC的夹角为0°，所以AD·BC＝|AD|·|BC|·cos0°＝3×3×1＝9.(2)因为AB与CD的方向相反，所以AB与CD的夹角是180°，所以AB·CD＝|AB|·|CD|·cos180°＝4×4×(－1)＝－16.(3)因为AB与AD的夹角是60°，所以AB与DA的夹角是120°，所以AB·DA＝|AB|·|DA|·cos120°＝4×3×＝－6.11．若a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，t为何值时，|a－tb|的值最小？解析：|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos60°＝(1＋t2－t)|a|2.所以当t＝时，|a－tb|有最小值|a|.12．已知在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，若|c|＝m，|b|＝n，〈b，c〉＝θ.(1)试用m，n，θ表示S△ABC；(2)若c·b＜0，且S△ABC＝，|c|＝3，|b|＝5，则〈c，b〉为多少？解析：(1)S△ABC＝AB·AC·sin∠CAB＝mnsinθ.(2)∵S△ABC＝＝|b||c|sinθ，∴＝×3×5sinθ，∴sinθ＝.∵c·b＜0，∴θ为钝角，∵θ＝150°，即〈c，b〉＝150°.
