课时作业19向量的正交分解与向量的直角坐标运算(限时：10分钟)1．若A(1,3)，B(2,1)，则BA的坐标是()A．(－1,2)B．(2，－1)C．(1，－2)D．(－2,1)答案：A2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则a－b等于()A．(－2，－1)B．(－2,1)C．(－1,0)D．(－1,2)答案：D3．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x的值为()A．－1B．－1或4C．4D．1或－4解析： AB＝(2,0)，又 a＝AB，∴，∴x＝－1.答案：A4．设a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，若c＝pa＋qb，则实数p，q的值为()A．p＝4，q＝1B．p＝1，q＝4C．p＝0，q＝4D．p＝1，q＝－4解析：利用坐标相等列方程组求解．答案：B5．已知点A、B、C的坐标分别为A(2，－4)、B(0,6)、C(－8,10)，求向量AB＋2BC－AC的坐标．解析：AB＝(－2,10)，BC＝(－8,4)，AC＝(－10,14)．∴AB＋2BC－AC＝(－2,10)＋2(－8,4)－(－10,14)＝(－2,10)＋(－16,8)－(－5,7)＝(－13,11)．(限时：30分钟)1．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；④若a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．其中，正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：由平面向量基本定理可知，①正确；②不正确．例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；a的坐标是终点坐标是以a的始点是原点为前提的，故④错误．答案：B2．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则a＝()A．(－3,4)B．(5，－12)C．(1，－4)D．(－4,8)解析：联立①＋②得2a＝(2，－8)＋(－8,16)＝(－6,8)，∴a＝(－3,4)．答案：A3．已知向量OA＝(3，－2)，OB＝(－5，－1)，则向量AB的坐标是()A.B.C．(－8,1)D．(8,1)解析：AB＝(OB－OA)＝[(－5，－1)－(3，－2)]＝(－8,1)＝.答案：A4．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝()A．3a＋bB．3a－bC．－a＋3bD．a＋3b解析：令c＝λa＋μb，∴(4,2)＝λ(1,1)＋μ(－1,1)．∴解得∴c＝3a－b.答案：B5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为()A.B.C．(3,2)D．(1,3)解析：令D(x，y)，由已知得，解得∴D.答案：A6．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于()A．{(1,2)}B．{(1,2)，(－2，－2)}C．{(－2，－2)}D．∅解析：令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，∴解得故M与N只有一个公共元素是(－2，－2)．答案：C7．已知A(2,3)，B(1,4)，且AB＝(sinα，cosβ)，α、β∈，则α＋β＝__________.解析： AB＝(－1,1)＝＝(sinα，cosβ)，∴sinα＝－且cosβ＝，∴α＝－，β＝或－.∴α＋β＝或－.答案：或－8．已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有OC＝λOA＋(1－λ)OB，λ∈R，则x＝__________.解析：取O(0,0)，由OC＝λOA＋(1－λ)OB得，(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴解得答案：29．已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且AC＝2BD，则x＋y＝__________.解析：AC＝(－1,2)，BD＝(x－2，y－3)．又AC＝2BD，∴(－1,2)＝2(x－2，y－3)＝(2x－4,2y－6)，∴∴∴x＋y＝.答案：10．已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以AB、AC为一组基底来表示AD＋BD＋CD.解析： AB＝(1,3)，AC＝(2,4)，AD＝(－3,5)，BD＝(－4,2)，CD＝(－5,1)，∴AD＋BD＋CD＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得AD＋BD＋CD＝mAB＋nAC，∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)，∴∴∴AD＋BD＋CD＝32AB－22AC.11．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP＝OA＋tAB，试求t为何值时，(1)点P在x轴上；(2)点P在y轴上；(3)点P在第一象限．解析： O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，∴OA＝(1,2)，AB＝(3,3)．∴OP＝OA＋tAB＝(1＋3t,2＋3t)．(1)若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－；...
