课时作业16数乘向量(限时：10分钟)1．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB＝a，CA＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD＝()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：如下图，CD平分∠ACB，由角平分线定理得＝＝＝2，所以AD＝2DB＝AB，所以CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋·(CB－CA)＝CB＋CA＝a＋b.答案：B2．在△ABC中，AB＝b，AC＝c.若点D满足BD＝2DC，则AD＝()A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c解析：如图，AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝b＋c.答案：D3．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：如右图，设为AB方向上的单位向量，为AC方向上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线AD的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同． OP＝OA＋λ，∴点P在AD上移动．∴P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B.答案：B4．在边长为1的正三角形ABC中，设BC＝2BD，CA＝3CE，则用AB，AC表示AD＝________，BE＝________.解析：由题意可知，点D是线段BC的中点，点E是线段AC上靠近点C的三等分点，如右图，则AD＝(AB＋AC)，BE＝BC＋CE＝AC－AB＋＝AC－AB.答案：(AB＋AC)；AC－AB5．已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：EF＝(AB＋DC)．证明：取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图． E为AD的中点，∴AE＝AD. F是BC的中点，∴AF＝(AB＋AC)．又 AC＝AD＋DC，∴AF＝(AB＋AD＋DC)＝(AB＋DC)＋AD.∴EF＝AF－AE＝(AB＋DC)＋AD－AD＝(AB＋DC)．(限时：30分钟)1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是()A．a与－λa的方向相反B．|－λa|≥|a|C．a与λ2a的方向相同D．|－λa|＝|λ|a解析：A错误，因为λ取负数时，a与－λa的方向是相同的；B错误，因为当|λ|＜1时，该式不成立；D错误，等号左边的结果表示一个数，而等号右边的结果表示一个向量，不可能相等；C正确，因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C.答案：C2．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝()A．－aB．－bC．－cD．以上都不对解析： 3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3a＋6b)－(6b＋2c)－(2a＋2b)＝a－2b－2c，又 a＝b＋c，∴3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝－a.答案：A3．设x是未知向量，a、b是已知向量，且满足3(x＋a)＋2(b－a)＋x－a－2b＝0，则x等于()A．0B．a＋bC．3a－bD．0解析：(3＋1)x＝－3a－2b＋2a＋a＋2b＝0，∴x＝0答案：D4．设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则()A.PA＋PB＝0B.PC＋PA＝0C.PB＋PC＝0D.PA＋PB＋PC＝0解析：以BC，BA为邻边作▱ABCD，对角线的交点为O，如下图，则BC＋BA＝BD＝2BO，又BC＋BA＝2BP，所以O，P重合，所以PC＋PA＝OC＋OA＝0.答案：B5．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(2x－2y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x＋y的值为()A．3B．－2C．9D．2解析： (2x－2y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，∴解得∴x＋y＝6＋3＝9.答案：C6．若2－(b－3x＋c)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x＝________.解析：2x＋x＝a＋b－b＋c，∴x＝a－b＋c.答案：a－b＋c7．若△ABC满足|CB|＝|AB＋AC|，则△ABC的形状一定为________．解析： △ABC满足|CB|＝|AB＋AC|，∴由矩形的对角线相等且互相平分可知：△ABC的形状必定为直角三角形．答案：直角三角形8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，若AC＝a，BD＝b，则AE＝________.解析：如右图， AE＝(AO＋AD)，且AO＝a，AD＝AO＋OD＝a＋b，∴AE＝＝a＋b.答案：a＋b9．计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)－；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．解析：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)原式＝－＝a＋b－a－b＝0.(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6－4＋4)a＋(－6＋8)b＋(6－4－2)c＝6a＋2b.10．(1)化简；(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)；(3)设x、y是未知向量，a，b是已知向量，解方程组解析：(1)原式＝＝＝＝a－b.(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝i＋j＝－i－5j.(3)把第一个方程的－2倍与第二个方程相加，得y＝...
