课时作业14向量的加法(限时：10分钟)1．设(AB＋CD)＋(BC＋DA)＝a，而b是一非零向量，则下列结论中，正确的有()①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.A．①③B．②③C．②④D．①②解析：a＝AB＋BC＋CD＋DA＝0.答案：A2．已知正方形ABCD的边长等于1，则|AB＋BC＋AD＋DC|等于()A．1B．2C．3D.解析：原式＝2|AC|＝2.答案：B3．在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，则AC＋BA等于()A．aB．bC．0D．a＋b解析：BA＝CD，∴AC＋BA＝AC＋CD＝AD＝b.答案：B4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB|＝1，则|BC＋DC|＝__________.解析：如图，|BC＋DC|＝|AC|，在Rt△AOB中，AB＝1，∠CAB＝30°，AC＝2AO＝2AB·cos30°＝.答案：5.如图，△ABC中O为重心，化简下列三式：(1)BC＋CE＋EA；(2)OE＋AB＋EA；(3)AB＋FE＋DC.解析：(1)BC＋CE＋EA＝BE＋EA＝BA.(2)解法一：OE＋AB＋EA＝(OE＋EA)＋AB＝OA＋AB＝OB.解法二：原式＝OE＋(EA＋AB)＝OE＋EB＝OB.(3)AB＋FE＋DC＝AB＋BD＋DC＝AD＋DC＝AC.(限时：30分钟)1．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为()A．5B．4C．3D．2解析：向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a＋b＋c.答案：A2．下列四式中不能化简为PQ的是()A.AB＋(PA＋BQ)B．(AB＋PC)＋(BA＋CQ)C.PC＋CD＋DQD.PA＋AB＋QB解析：根据向量加法的运算律与向量加法法则知A，B，C可化简为PQ，D中PA＋AB＋QB＝PB＋QB≠PQ.答案：D3．下列说法：①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；②△ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0；③若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中正确说法的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：①错，若a＋b＝0时，方向是任意的；②正确；③错，A，B，C三点共线时也满足；④错，|a＋b|≤|a|＋|b|.答案：B4．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向()A．与向量a的方向相同B．与向量a的方向相反C．与向量b的方向相同D．与向量b的方向相反解析：根据向量加法的几何意义，a＋b的方向应与a的方向一致．答案：A5．在平行四边形ABCD中，若|BC＋BA|＝|BC＋AB|，则四边形ABCD是()A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定解析：由图知|BC＋BA|＝|BD|.又|BC＋AB|＝|AD＋AB|＝|AC|，∴|BD|＝|AC|.∴四边形ABCD为矩形．答案：B6．设a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)，b是任一非零向量，有下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.其中，正确的结论为()A．①②B．①③C．①③⑤D．③④⑤解析：因为a＝0，所以①③⑤正确．答案：C7．当非零向量a，b满足__________时，a＋b平分a，b间的夹角．答案：|a|＝|b|8．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是__________．解析：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，a，b异向共线，此时|a＋b|的最小值为4.答案：49．若P为△ABC的外心，且PA＋PB＝PC，则∠ACB＝__________.解析：∵PA＋PB＝PC，则四边形APBC是平行四边形．又P为△ABC的外心，∴|PA|＝|PB|＝|PC|.因此∠ACB＝120°.答案：120°10．设在平面内给定一个四边形ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，求证：EF＝HG.证明：如图所示，连接AC.在△ABC中，由三角形中位线定理知，EF＝AC，EF∥AC，同理HG＝AC，HG∥AC.所以|EF|＝|HG|且EF和HG同向，所以EF＝HG.11．在水流速度为10km/h的河中，如果要使船以10km/h的速度与河岸成直角地横渡，求船行驶速度的大小与方向．解析：如图，OA表示水流方向，OB表示垂直于对岸横渡的方向，OC表示船行驶速度的方向，由OB＝OC＋OA，及OA＝CB且∠OBC＝90°，知|OC|＝20，∠AOC＝120°，即船行驶速度为20km/h，方向与水流方向成120°角．12．如图所示，用两根绳子把重为10N的物体W吊在水平柱AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)解析：设CE，CF分别表示A，B处所受的力，10N的重力用CG表示，则CE＋CF＝CG.因为∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°，所以|CE|＝|CG|cos30°＝10×＝5(N)，|CF|＝|CG|cos60°＝10×＝5(N)．即A处所受力的大小为5N．B处所受力的大小为5N.
