第3章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理学业分层测评新人教B版选修4-5(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n＝()A.1B.1或2C.1,2,3D.1,2,3,4【解析】经验证当n＝1,2,3时均正确，但当n＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，而右边＝3×42－3×4＋2＝28，故选C.【答案】C2.某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋且k≥1)时命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立.现已知n＝5时，该命题不成立，那么应有()A.当n＝4时该命题成立B.当n＝6时该命题成立C.当n＝4时该命题不成立D.当n＝6时该命题不成立【解析】若n＝4时命题成立，由递推关系知n＝5时命题成立，与题中条件矛盾，∴n＝4时，该命题不成立.【答案】C3.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋()A.B.πC.2πD.π【解析】n＝k到n＝k＋1时，内角和增加π.【答案】B4.用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为()A.1B.1＋3C.1＋2＋3D.1＋2＋3＋4【解析】当n＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3.【答案】C5.一个与自然数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立推得n＝k＋2时命题也成立，则()A.该命题对于n＞2的自然数n都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取什么值无关D.以上答案都不对【解析】由题意n＝2时成立可推得n＝4,6,8，…都成立，因此所有正偶数都成立，故选B.【答案】B二、填空题6.用数学归纳法证明：设f(n)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N＋，且n≥2)第一步要证明的式子是________.【解析】n＝2时，等式左边＝2＋f(1)，右边＝2f(2).∴第一步要证明的式子是2＋f(1)＝2f(2).【答案】2＋f(1)＝2f(2)7.用数学归纳法证明“n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除”时，某同学证法如下：(1)n＝1时1×2×3＝6能被6整除，∴n＝1时命题成立.(2)假设n＝k时成立，即k(k＋1)(2k＋1)能被6整除，那么n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)[k＋(k＋3)]＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3). k，k＋1，k＋2和k＋1，k＋2，k＋3分别是三个连续自然数.∴其积能被6整除.故n＝k＋1时命题成立.综合(1)(2)，对一切n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除.这种证明不是数学归纳法，主要原因是________.【答案】没用上归纳假设8.设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于________.【导学号：38000057】【解析】因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.【答案】＋＋三、解答题9.已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然数m，使得对任意n∈N＋，都能使m整除f(n)？如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【解】存在，m＝36.证明如下：(1)当n＝1时，f(1)＝36，能被36整除；(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1).由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除，所以f(k＋1)能被36整除.由(1)(2)，得f(n)能被36整除，由于f(1)＝36，故能整除f(n)的最大整数是36，即m＝36.10.设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，….(1)求a1，a2；(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格证明.【解】(1) Sn－1是方程x2－anx－an＝0的一个根，∴(Sn－1)2－an·(Sn－1)－an＝0，∴(Sn－1)2－anSn＝0，∴当n＝1时，a1＝，当n＝2时，a2＝.(2)由(1)知S1＝a1＝，n≥2时，(Sn－1)2－(Sn－Sn－1)·Sn＝0，∴Sn＝.①此时当n＝2时，S2＝＝；当n＝3时，S3＝＝.由猜想可得，Sn＝，n＝1,2,3，….下面用数学归纳法证明这个结论.当n＝1时，a1＝S1＝，显然成立.假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时结论成立，即Sk＝.当n＝k＋1时，由①知Sk＋1＝，∴Sk＋1＝＝＝.∴当n＝k＋1时式子也成立.综上，Sn＝，n＝1,2,3，…，对所有正整数n都成立.[能力提升]1.用数学归纳法证明“1...
