第20课时向量的数乘运算及其几何意义课时目标1.理解向量数乘的定义及规定，掌握向量数乘的几何意义．2．掌握向量数乘的运算法则，会应用法则进行有关计算．识记强化1．向量数乘的运算律(1)λ(μ)a＝μ(λa)；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一实数λ，使b＝λa.课时作业一、选择题1．已知λ∈R，则下列命题正确的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a|D．|λa|>0答案：C解析：当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，所以B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.2．已知AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，则()A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线答案：A解析：BD＝BC＋CD＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝AB，∴A，B，D三点共线．3．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量CD＝()A．－BC＋BAB．－BC－BAC.BC－BAD.BC＋BA答案：A解析：CD＝CB＋BD＝－BC＋BA.4．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于()A.B．－C．－D.答案：C解析：∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若AB＝a，AD＝b，则AF＝()A.a＋bB.a＋bC．a＋bD．a＋b答案：A解析：由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝AB，∴AF＝AD＋DF＝AD＋AB＝a＋b.6．如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.设AB＝a，AC＝b，AF＝xa＋yb，则(x，y)为()A.B.C.D.答案：C解析：∵AD＝DB，AE＝EC，∴F是△ABC的重心，则DF＝DC，∴AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝AD＋(AC－AD)＝AD＋AC＝AB＋AC＝a＋b，∴x＝，y＝.二、填空题7．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.答案：解析：由已知得，解得x＝y＝.8．下面三个命题：①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；②向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使a＝λb；③若a＝λb，则a与b共线．正确命题的序号为：________.答案：③解析：①a与b所在直线有可能在一条直线上；②若b＝0，λb＝0，∴λ可取任意实数；③正确．9．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足PA＋PC＝0,2QA＋QB＋QC＝BC，若|PQ|＝λ|BC|，则正实数λ＝________.答案：解析：由条件PA＋PC＝0，知PA＝－PC＝CP，所以点P是边AC的中点．又2QA＋QB＋QC＝BC，所以2QA＝BC－QB－QC＝BC＋CQ＋BQ＝2BQ，从而有QA＝BQ，故点Q是边AB的中点，所以PQ是△ABC的中位线，所以|PQ|＝|BC|，故λ＝.三、解答题10．设两个非零向量e1与e2不共线，如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)．(1)求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k的值，使ke1＋e2和e1＋ke2共线．解：(1)证明：BD＝BC＋CD＝5e1＋5e2＝5AB，∴BD∥AB，又AB、BD有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴，∴k2＝1，∴k＝±1.11.如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，求实数m的值．解：AP＝AN＋NP＝AC＋NP＝mAB＋AC，∴NP＝mAB－AC.又NB＝NC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB－AC，设NP＝λNB，则λAB－λAC＝mAB－AC，∴m＝λ＝.能力提升12．已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC的内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上答案：B解析：由CB＝λPA＋PB，得CB－PB＝λPA，∴CP＝λPA，则CP与PA为共线向量又有一个公共点P，∴C、P、A三点共线即P点在直线AC上．13．如图，G是△OAB的重心，OG的延长线交AB于点M，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设PG＝λPQ，将OG用λ，OP，OQ表示；(2)设OP＝xOA，OQ＝yOB，证明：＋是定值．解：(1)OG＝OP＋PG＝OP＋λPQ＝OP＋λ(OQ－OP)＝(1－λ)OP＋λOQ.(2)由(1)及OP＝xOA，OQ＝yOB，得OG＝(1－λ)OP＋λOQ＝(1－λ)xOA＋λyOB.①∵G是△OAB的重心，∴OG＝OM＝×(OA＋OB)＝OA＋OB.②由①②得OA＝OB，而OA，OB不共线，∴，解得，∴＋＝3，即＋是定值．
