第20课时向量的数乘运算及其几何意义课时目标1.理解向量数乘的定义及规定,掌握向量数乘的几何意义.2.掌握向量数乘的运算法则,会应用法则进行有关计算.识记强化1.向量数乘的运算律(1)λ(μ)a=μ(λa);(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.2.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当存在唯一实数λ,使b=λa.课时作业一、选择题1.已知λ∈R,则下列命题正确的是()A.|λa|=λ|a|B.|λa|=|λ|aC.|λa|=|λ||a|D.|λa|>0答案:C解析:当λ<0时,|λa|=λ|a|不成立,A错误;|λa|是一个非负实数,而|λ|a是一个向量,所以B错误;当λ=0或a=0时,|λa|=0,D错误.故选C.2.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线答案:A解析:BD=BC+CD=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=AB,∴A,B,D三点共线.3.如图所示,D是△ABC的边AB的中点,则向量CD=()A.-BC+BAB.-BC-BAC.BC-BAD.BC+BA答案:A解析:CD=CB+BD=-BC+BA.4.已知向量a与b反向,且|a|=r,|b|=R,b=λa,则λ的值等于()A.B.-C.-D.答案:C解析:∵b=λa,∴|b|=|λ||a|.又a与b反向,∴λ=-.5.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线交DC于点F,若AB=a,AD=b,则AF=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b答案:A解析:由已知条件可知BE=3DE,∴DF=AB,∴AF=AD+DF=AD+AB=a+b.6.如图,在△ABC中,AD=DB,AE=EC,CD与BE交于点F.设AB=a,AC=b,AF=xa+yb,则(x,y)为()A.B.C.D.答案:C解析:∵AD=DB,AE=EC,∴F是△ABC的重心,则DF=DC,∴AF=AD+DF=AD+DC=AD+(AC-AD)=AD+AC=AB+AC=a+b,∴x=,y=.二、填空题7.已知x,y是实数,向量a,b不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x=________,y=________.答案:解析:由已知得,解得x=y=.8.下面三个命题:①非零向量a与b共线,则a与b所在的直线平行;②向量a与b共线,则存在唯一实数λ,使a=λb;③若a=λb,则a与b共线.正确命题的序号为:________.答案:③解析:①a与b所在直线有可能在一条直线上;②若b=0,λb=0,∴λ可取任意实数;③正确.9.已知点P,Q是△ABC所在平面上的两个定点,且满足PA+PC=0,2QA+QB+QC=BC,若|PQ|=λ|BC|,则正实数λ=________.答案:解析:由条件PA+PC=0,知PA=-PC=CP,所以点P是边AC的中点.又2QA+QB+QC=BC,所以2QA=BC-QB-QC=BC+CQ+BQ=2BQ,从而有QA=BQ,故点Q是边AB的中点,所以PQ是△ABC的中位线,所以|PQ|=|BC|,故λ=.三、解答题10.设两个非零向量e1与e2不共线,如果AB=e1+e2,BC=2e1+8e2,CD=3(e1-e2).(1)求证:A、B、D三点共线;(2)试确定实数k的值,使ke1+e2和e1+ke2共线.解:(1)证明:BD=BC+CD=5e1+5e2=5AB,∴BD∥AB,又AB、BD有公共点B,∴A、B、D三点共线.(2)∵ke1+e2与e1+ke2共线,∴存在实数λ使ke1+e2=λ(e1+ke2),∴,∴k2=1,∴k=±1.11.如图,在△ABC中,AN=NC,P是BN上的一点,若AP=mAB+AC,求实数m的值.解:AP=AN+NP=AC+NP=mAB+AC,∴NP=mAB-AC.又NB=NC+CB=AC+(AB-AC)=AB-AC,设NP=λNB,则λAB-λAC=mAB-AC,∴m=λ=.能力提升12.已知P是△ABC所在平面内的一点,若CB=λPA+PB,其中λ∈R,则点P一定在()A.△ABC的内部B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上答案:B解析:由CB=λPA+PB,得CB-PB=λPA,∴CP=λPA,则CP与PA为共线向量又有一个公共点P,∴C、P、A三点共线即P点在直线AC上.13.如图,G是△OAB的重心,OG的延长线交AB于点M,P,Q分别是边OA,OB上的动点,且P,G,Q三点共线.(1)设PG=λPQ,将OG用λ,OP,OQ表示;(2)设OP=xOA,OQ=yOB,证明:+是定值.解:(1)OG=OP+PG=OP+λPQ=OP+λ(OQ-OP)=(1-λ)OP+λOQ.(2)由(1)及OP=xOA,OQ=yOB,得OG=(1-λ)OP+λOQ=(1-λ)xOA+λyOB.①∵G是△OAB的重心,∴OG=OM=×(OA+OB)=OA+OB.②由①②得OA=OB,而OA,OB不共线,∴,解得,∴+=3,即+是定值.