章末综合测评(三)解三角形(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，a＝k，b＝k(k>0)，A＝45°，则满足条件的三角形有()A．0个B．1个C．2个D．无数个A[由正弦定理得＝，所以sinB＝＝>1，即sinB>1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．]2．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，则cosC的值为()A．B．－C．D．－A[根据正弦定理，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0)．则有cosC＝＝.]3．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝()A．或B．C．D．C[由＝，得sinC＝. BC＝3，AB＝，∴A>C，则C为锐角，故C＝.]4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为()A．6B．12C．4D．2A[法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsinB＝×4×2×sin＝6.故选A．法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.故选A．]5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形B[由已知可得＝－，即cosA＝，b＝ccosA．法一：由余弦定理得cosA＝，则b＝c·，所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．法二：由正弦定理，得sinB＝sinCcosA．在△ABC中，sinB＝sin(A＋C)，从而有sinAcosC＋cosAsinC＝sinCcosA，即sinAcosC＝0.在△ABC中，sinA≠0，所以cosC＝0.由此得C＝，故△ABC为直角三角形．]6．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为()A．小时B．1小时C．小时D．2小时B[在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．]7.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为()A．B．C．D．D[设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a.在△ABD中，由余弦定理，得cosA＝＝＝.又 A为△ABC的内角，∴sinA＝.在△ABC中，由正弦定理得，＝.∴sinC＝·sinA＝·＝.]8．泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30°，则“泉标”的高度为()A．50mB．100mC．120mD．150mA[如图，CD为“泉标”高度，设高为h米，由题意，CD⊥平面ABD，AB＝100米，∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，∠CBD＝30°在△CBD中，BD＝h，在△CAD中，AD＝h，在△ABD中，BD＝h，AD＝h，AB＝100，∠BAD＝60°，由余弦定理可得3h2＝10000＋h2－2×100hcos60°，∴(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50或h＝－100(舍去)，故选A．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分)9．在△ABC中，b＝2，B＝45°，若这样的三角形有两个，则边a的取值可以为()A．2B．C．D．2BC[由题意得⇒⇒2
