高中数学4.5.2利用数量积计算长度和角度同步练习湘教版必修21．向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，则|a＋2b|＝()A．B．C．D．2．(2011山东泰安高一检测)如果向量a和b满足|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，那么a和b的夹角大小为()A．30°B．45°C．75°D．135°3．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．04．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围是()A．B．C．D．5．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形6．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是________．7．在△ABC中，若|AB|＝1，|AC|＝4，·＝2，则|BC|＝__________.8．若向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝__________.9．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，且c＝a＋2b，d＝2a＋kb.求k的值，使之分别满足：(1)c⊥d；(2)c∥d.10．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|＝1(k∈R)，求k的值．参考答案1.答案：B解析：|a＋2b|＝＝.2.答案：B解析：由a⊥(a－b)，可得a·(a－b)＝0，即a2＝a·b，设θ为向量a，b的夹角，则cosθ＝1，所以θ＝45°.3.答案：D解析：∵a⊥c，∴a·c＝0.∵a∥b，∴b⊥c.∴b·c＝0.∴c·(a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0.4.答案：B解析：设a与b的夹角为θ，∵Δ＝|a|2－4a·b≥0，∴a·b≤.∴.∵θ∈，∴θ∈.5.答案：B解析：(＋－2)·(－)＝(－＋－)·(－)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0，于是||2＝||2，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形．6.答案：解析：∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2，∴a·b＝2＋a2＝3.∴cos〈a，b〉＝，∴a与b的夹角为.7.答案：解析：由·＝2得||||cosA＝2，即4cosA＝2，所以cosA＝.于是|BC|2＝|AB|2＋|AC|2－2·|AB|·|AC|·cosA＝1＋16－2×1×4×＝13，所以|BC|＝.8.答案：－13解析：∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，即|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，于是9＋1＋16＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，解得a·b＋b·c＋c·a＝－13.9.解：c·d＝(a＋2b)·(2a＋kb)＝8＋12k.|c|＝，，cos〈c，d〉＝.(1)当c⊥d时，8＋12k＝0，.(2)当c∥d时，cos〈c，d〉＝±1，k＝4.10.(1)证法一：∵|a|＝|b|＝|c|＝1且a，b，c之间的夹角均为120°，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°＝0.∴(a－b)⊥c.证法二：如图，设，，.由题意可知，连接AB，AC，BC的三条线段围成正三角形ABC，O是△ABC的中心，∴OC⊥AB．又＝a－b，∴(a－b)⊥c.(2)解：∵|ka＋b＋c|＝1，∴(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)＝1，即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＝1，∵a·b＝a·c＝b·c＝cos120°＝，∴k2－2k＝0.解得k＝0或k＝2.
