【成才之路】2015-2016学年高中数学2.3.2向量数量积的运算律课时作业新人教B版必修4一、选择题1．若|a|＝3，|b|＝，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝()A．3B．C．21D．[答案]D[解析] |a|＝3，|b|＝，a与b的夹角为，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×3××cos＋3＝9＋2×3××＋3＝21，∴|a＋b|＝.2．(2015·山东临沂高一期末测试)若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，且a·(a－b)＝，则向量a与b的夹角为()A．B．C．D．[答案]B[解析]设向量a与b的夹角为θ， a·(a－b)＝a2－a·b＝，∴1－1×1×cosθ＝，∴cosθ＝， 0≤θ≤π，∴θ＝.3．设a、b、c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2等于()A．1B．2C．4D．5[答案]D[解析] a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴c2＝|c|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＝5，故选D．4．已知两个非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b[答案]B[解析]本题考查向量的运算．由题意知|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b－b2，∴a·b＝0，∴a⊥b.注意：|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.5．下列各式中正确命题的个数为()①(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)，(λ∈R)；②|a·b|＝|a|·|b|；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c；④(a·b)·c＝a·(b·c)．1A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]①、③正确，②、④错误．6．(2015·重庆理，6)若非零向量a、b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A．B．C．D．π[答案]A[解析]设a与b的夹角为θ，根据题意可知，(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，所以3|a|2－a·b－2|b|2＝0,3|a|2－|a|·|b|cosθ－2|b|2＝0，再由|a|＝|b|得|b|2－|b|2cosθ－2|b|2＝0，∴cosθ＝，又 0≤θ≤π，∴θ＝.二、填空题7．设a、b、c是单位向量，且a－b＝c，则向量a与b的夹角等于________．[答案][解析] a、b、c是单位向量，∴|a|＝|b|＝|c|＝1. a－b＝c，∴|a－b|＝|c|＝1，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1.∴1－2×1×1×cos〈a，b〉＋1＝1，∴cos〈a，b〉＝.又 0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝8．已知两个单位向量e1、e2的夹角为120°，且向量a＝e1＋2e2，b＝4e1，则a·b＝________.[答案]0[解析] |e1|＝|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为120°，∴a·b＝(e1＋2e2)·(4e1)＝4e＋8e1·e2＝4＋8×1×1×cos120°＝4＋8×1×1×(－)＝0.三、解答题9．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝2a－3b，d＝ma＋b，若c⊥d，求实数m的值．[解析]a·b＝|a||b|cos60°＝1.因为c⊥d，所以c·d＝0，即(2a－3b)·(ma＋b)＝2ma2＋(2－3m)a·b－3b2＝2m－12＋2－3m＝0，解得m＝－10.10．已知a、b满足|a|＝，|b|＝2，|a＋b|＝，求a＋b与a－b的夹角θ的余弦值．[解析]由已知|a|＝，|b|＝2，|a＋b|＝，∴(a＋b)2＝13.即a2＋2a·b＋b2＝13，∴2a·b＝6.∴(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝(a＋b)2－4a·b＝1.即|a－b|＝1，故cosθ＝＝－.2一、选择题1．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．以上都不对[答案]C[解析]由(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0得CB·(AB＋AC)＝0又 CB＝AB－AC，∴(AB－AC)·(AB＋AC)＝0即|AB|2－|AC|2＝0∴|AB|＝|AC|，∴△ABC为等腰三角形．2．(2014·全国大纲理，4)若向量a、b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝()A．2B．C．1D．[答案]B[解析]本题考查了平面向量的数量积的运算，由已知(2a＋b)·b＝0，即2a·b＋b·b＝0，(a＋b)·a＝0，所以|a|2＋a·b＝0,2a·b＋|b|2＝0，又|a|＝1所以|b|＝.3．(2015·陕西理，7)对任意向量a、b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2[答案]B[解析]A项，|a·b|＝(α为a、b夹角)，因为cosα≤1，所以|a·b|＝≤|a||b|，故A项不符合题意；B项，两边平方得a2＋b2－2a·b≤a2＋b2－2|a||b|，即|a||b|≤a·b＝|a||b|cosα(α为a、b夹角)，当α不为0时，此式不成立，应该为|a||b|≥a·b，故B项符合题意；C项，由向量的运算性质可知，(a＋b)2...
