第二章2.12.1.4第1课时函数的奇偶性的定义一、选择题1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝()A．3B．－3C．2D．7[答案]C[解析] 函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(－3)＝－f(3)＝－2，∴f(3)＝2，∴f(3)＋f(0)＝2，故选C．2．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)，其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]A[解析]偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误；奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确；若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故④错误，既是奇函数又是偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零，区别在定义域，选A．3．若二次函数f(x)＝x2＋(b－2)x在区间[1－3a,2a]上是偶函数，则a、b的值是()A．2,1B．1,2C．0,2D．0,1[答案]B[解析]由题意，得，∴.4．(2014·湖南理，3)已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3[答案]C[解析] f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，①∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，②由①②得f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，∴f(1)＝2，g(1)＝－1，∴f(1)＋g(1)＝1.5．(2014·全国新课标Ⅰ理，3)设函数f(x)、g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数[答案]C[解析]令F(x)＝f(x)|g(x)|，则F(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F(x)，∴函数f(x)|g(x)|是奇函数．6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是()A．f(x)＝－x(x－2)B．f(x)＝x(|x|－2)C．f(x)＝|x|(x－2)D．f(x)＝|x|(|x|－2)[答案]D[解析]解法一：设x<0，则－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x， y＝f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)＝x2＋2x(x<0)．∴f(x)＝，即f(x)＝，∴f(x)＝|x|(|x|－2)．解法二：只有D中的函数是R上的偶函数，故选D．二、填空题7．如果F(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.[答案]2x＋3[解析]设x<0，则－x>0，∴F(－x)＝2(－x)－3，即F(－x)＝－2x－3，又F(x)为奇函数，∴F(－x)＝－F(x)，即F(x)＝－F(－x)＝2x＋3，∴f(x)＝2x＋3.8．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝______.[答案]4[解析]本题考查二次函数、偶函数概念．由f(x)＝x2＋(a－4)x－4a为偶函数知其对称轴x＝－＝0，即a＝4.另外本题也可利用偶函数定义求解．三、解答题9．(2014～2015学年度潍坊市四县市高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝ax＋(其中a、b为常数)的图象经过两点(1,2)和(2，)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)的奇偶性．[解析](1)由已知得，解得.∴f(x)＝x＋.(2)由题意可知，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝－x－＝－(x＋)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．10．判断函数f(x)＝的奇偶性．[解析]函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)．由于当x＝0时，f(0)＝2≠－f(0)，因此尽管x≠0时f(－x)＝－f(x)成立，但是不符合函数奇偶性的定义．∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.一、选择题1．如右图是偶函数y＝f(x)的局部图象，根据图象所给信息，下列结论正确的是()A．f(－2)－f(6)＝0B．f(－2)－f(6)<0C．f(－2)＋f(6)<0D．f(－2)－f(6)>0[答案]B[解析]由图象可知，f(2)0，则()A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)
