高一数学函数的性质(1)——单调性苏教版【本讲教育信息】一.教学内容:函数的性质(1)——单调性【教学目标】理解函数单调性、最大(小)值概念,掌握判断函数单调性的方法,会证明一些简单函数在某个区间的单调性。【知识要点】1.观察气温变化图,说出气温在哪段时间段内是升高的或下降的?2.21-11yx1yx22yxx22在某一区间内,当x的值增大时,函数值y也增大图象在该区间内呈上升趋势当x的值增大时,函数值y反而减小图象在该区间内呈下降趋势如何用x与fx()来描述上升的图象?在给定区间上任取xx12,xxfxfx1212()()如何用x与fx()来描述下降的图象?用心爱心专心在给定区间上任取xx12,xxfxfx1212()()[定义]1.一般地,设函数yfx()定义域为A,区间IA。如果对于区间I内的任意两个值xx12,,当xx12时,都有fxfx()()12,那么就说yfx()在区间I上是单调递增函数,I称为yfx()单调递增区间。如果对于区间I内的任意两个值xx12,,当xx12时,都有fxfx()()12,那么就说yfx()在区间I上是单调递减函数,I称为yfx()单调递减区间。2.一般地,设yfx()的定义域为A,若存在定值xA0,使得对于任意xA,有fxfx()()0恒成立,则称fx()0为yfx()的最大值。若存在定值xA0,使得对于任意xA,有fxfx()()0恒成立,则称fx()0为yfx()的最小值。[思考]1.(1)若函数yfx()在R上单调递增,比较f()1与f()2的大小。(2)若函数yfx()在11,上单调递增,则(a)比较f12与f()1的大小;(b)对于任意的x11,,fx()与f()1?2.(1)已知yfx()在R上单调递减且faf()()1,求a的范围。变:若fxfx()()21,求x的取值范围。【典型例题】例1.证明函数fxx()32在R上是增函数。证明:(1)取值设xx12,是R上的任意两个实数,且xx12,则(2)作差fxfxxxxx()()12121232323(3)判断由xx12,得:xx120于是fxfx120(4)结论所以,fxx()32在R上是增函数。用心爱心专心例2.判断函数yxx10的单调性,并写出单调区间。解:此函数定义域为,,00首先画出函数yx1的图象yOx从图象上观察,我们可知,函数yx1在,0和0,上均为单调递减。∴函数yx1的单调减区间为,0和0,注意:我们能说函数yx1在整个定义域内单调递减吗?为什么?例3.求证:函数fxx()11在区间,0上是单调增函数。证明:(1)取值设xx12,是,0上的任意两个实数,且xx12,则(2)作差fxfxxxxxxxxx1212211212111111(3)判断xxxx121200,又xxxx121200,,,fxfxxxxxfxfx121212120(4)结论所以fxx()11在区间,0上是单调增函数。例4.如图,定义在闭区间66,上的函数yfx()的图象,根据图象说出yfx()的最大值、最小值及单调区间。用心爱心专心解:函数yfx()的单调减区间为63,和03,,以及56,函数yfx()的单调增区间为30,和35,最大值为f()6,最小值为f()3例5.已知函数yfx()的定义域是abacb,,。当xac,时,fx()是单调增函数;当xcb,时,fx()是单调减函数。试证明fx()在xc时取得最大值。证明:因为当xac,时,fx()是单调增函数所以对于任意xac,都有fxfc()()又因为当xcb,时,fx()是单调减函数所以对于任意的xcb,都有fxfc()()因此,对于任意xab,都有fxfc()()即在xc时取得最大值。【模拟试题】一.选择题。1.已知fx()在0,上为增函数,则fff()()()23,,的大小顺序是()A.fff()()()32B.fff()()()23C.fff()()()23D.fff()()()322.已知函数fxxax()2212在区间,4上是减函数,则实数a的取值范围是()A.a3B.a3C.a3D.a53.下列函数中,在区间1,上为减函数的是()A.yx2B.yxx223C.y...