等比数列前n项和 (2)VIP专享VIP免费

荆门龙泉中学叶子成高中数学新课导入知识要点典型例题课堂小结课堂练习高考链接等比数列1.定义式：：an：an-1=q(n≥2)3.通项公式:2.递推式：an=an-1q(n≥2)4.任意两项关系:记一记n1n1aaqnmnmaaq回顾旧知*-111-15.(0,,2)nnnnnaaaaanNn2n连续三项关系：a6.a,b的等比中项2Gab(a,b同号）对于任意正整数m,n,r,s，若m+n=r+s,则aman=aras.国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，你认为国王能满足他的要求吗？新课导入1+2+4+8+…+263=18446744073709551615（粒）已知麦子每千粒约为40克，则折合约为737869762948382064克≈7378.7亿吨.经过计算，我们得到麦粒总数是那么这是怎么计算的呢？这实质上是求等比数列前n项和的问题.2.5等比数列前n项和探讨问题发明者要求的麦粒总数是：S64=1+2+22+23+…+263①上式有何特点？如果①式两端同时乘以2得:2S64=2+22+23+…+263+264②比较①、②两式，有什么关系呢？S64=1+2+22+23+…+263①2S64=2+22+23+…+263+264②两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，则②－①得：S64=264-1=18446744073709551615设问：纵观全过程，①式两边为什么要乘以2呢？等比数列前等比数列前nn项和公式及推导项和公式及推导在等比数列{an}中首先要考虑两种情况：当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an=？当q=1时，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an=a1+a1+a1+……+a1+a1=na1共n个a1na1aqnS设等比数列，首项为,公比为如何求前n项和？Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1①qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn②①-②得：Sn(1—q)=a1—a1qn当q≠1时，q1)q1(asn1n则等比数列{an}前n项和公式为Sn=na1q=1q1)q1(an1q≠11.注意q=1与q≠1两种情况.2.q≠1时，q1qaaq1)q1(asn1n1n通过上面的讲解，对于等比数列的相关量a1、q、n、an、sn，一般确定几个量就可以确定其他量？a1、an、nan、sna1、q、ana1、q、na1、an、snan、q、nan、sn、nn、snq、snq、na1、sna1、q例1等比数列{an}的公比q=，a8=1，求它的前8项和S8.21解法1：因为a8=a1q7，所以77812qaa因此25512211])21(1[2q1)q1(as887818解法2：把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项，即顺序颠倒，也得到一个等比数列{bn}，其中b1=a8=1，q=2，所以前8项和2552121q1)q(1bs8818求和999999999999n个分析：数列9，99，999，……，不是等比数列，不能直接用公式求和，但将它转化为10－1，100－1，1000－1，……，就可以解决了。例2原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+…+(10n－1)=(10+100+1000+……+10n)－n10(101)101nn10(101)9nn解：例3已知数列的前五项是（1）写出该数列的一个通项公式；（2）求该数列的前n项和}a{n.24315,8114,2713,912,311ns分析：此数列的特征是两部分构成，其中}ba{nn是整数部分，又是等差数列，}a{n}b{n又是等比数列.是分数部分，和等比数列，所以此方法称为“列项分组法求和”所以此数列可以转化为等差数列解：（1），nn31na（2）)31n...()313()312()311(sn32n)31...313131()n...321(n32-1(13)(1)31213nnn-(+1)312nnn某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p(p>0)，求这个工厂去年全年产值的总和。解：该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元，3月，4月，……，的产值分别为a(1+p)2元，a(1+p)3元，……，所以12个月的产值组成一个等比数列，首项为a，公比为1+p，例4增长率问题1212[1(1)]1(1)apSp12[(1)1]app答：该工厂去年全年的总产值为元。12[(1)1]app求和：.nn2n164834221S例5为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.设，其中为等差数列，nnn21n2nann2121分析：解：，n4...