数学归纳法（一）太康县第二高级中学郭伟峰请问：以上四个结论正确吗？为什么?得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点问题1：从前一个地主的孩子学写字，学过一二三后得出结论四就是四横五就是五横。问题2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得a1＝1,a2＝1,a3＝1,于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2)•180°。问题4：这是一盒白色粉笔，怎么证明他们是白的？一一检查。☺1、错；2、错，a5=25≠1；3、对；4、对。共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全归纳法，问题4是用的完全归纳法。引入一、概念1、归纳法：对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。归纳法｛完全归纳法不完全归纳法❋用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如问题1,2。❋用完全归纳法得出的结论可靠，可不便操作。提出问题：如何找到一个科学有效的方法证明结论的正确性呢？新课实验演示，探索解题途径在多米诺骨牌游戏中，要让这些骨牌全部倒下，必须具备哪些条件呢？（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。思考：第一块不推倒行吗？从中间拿走几块行吗？演示小节：可以看出条件（2）事实上给出了一个递推关系；当第k块倒下时，相邻的第k+1块也会倒下。这样，只要第一块倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下。二，数学归纳法原理：我们知道，有一些命题是和正整数有关的，如果这个命题的情况有无限种，那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完全归纳法又不可靠，怎么办？步骤：①验证n=n0时命题成立。（n0为n取的第一个值）②假设n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立。③根据①②得出命题成立。常采用下面的方法来证明他们的正确性这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法用框图标表示就是验证n=n0时命题成立若n=k（k≥n0）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立命题对从n0开始所有的正整数n都成立例1、例1如果{}是一个等差数列，那么对于一切nN*∈都成立。用数学归纳法证明。证明:(1)当n=1时,左边=,右边=+（1-1）d=,结论成立。(2)假设当n=k时结论成立，即=+(k-1)d则当n=k+1时，=+(k-1)d+d=+[(k+1)-1]d凑结论∴当n=k+1时，结论也成立。由(1)和(2)知,等式对于任何n∈都成立。1(1)naand=+-1ana1a1aka1a1kkaad+=+1a*N应用1ka+1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中“假设n=k时成立”称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。由以上可知，用数学归纳法需注意：注意例2：已知数列{}，其通项公式为，试猜想该数列的前n和公式，并用数学归纳法证明你的结论。na21nan=-ns解：（1）111sa==2124ssa=+=323434459,9716ssassa=+=+==+=+=（2）猜想2nsn=，问题转化为证明：1+3+5+…+（2n+1）=2n证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。（2）假设当n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=2k则当n=k+1时，1+3+5…+（2k-1)+[2(k+1)-1]=+[2(k+1)-1]=2k2(1)k+\当n=k+1时，等式也成立。由（1）和（2）知，等式对任何都成立。*nNÎ一，课本第95页练习1，2。二，试着归纳本节课所学内容。练习1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可；2、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式，第二步中n=k+1时应增加的式子；3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二是“凑”目标式。小结1、阅读作业：通读教材2、书面作业：习题2.3A组第1，2题3、弹性作业：简析我国古代烽火传递军情的合理性(可以上网查阅)课后作业
