2复数的四则运算复数的加法与减法已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.问题2：类比向量的加法，复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．加(减)法法则设a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)是任意复数，则(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.2．运算律对任意的z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1(交换律)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)(结合律).复数的乘法问题1：复数的加减法类似多项式加减，试想：复数相乘是否类似两多项式相乘？提示：是．问题2：复数的乘法是否满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律？提示：满足．问题3：试举例验证复数乘法的交换律．提示：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.复数的乘法(1)定义：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)运算律：①对任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3②复数的乘方：任意复数z，z1，z2和正整数m，n，有zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz.共轭复数观察下列三组复数：(1)z1＝2＋i；z2＝2－i；(2)z1＝3＋4i；z2＝3－4i；(3)z1＝4i；z2＝－4i.问题1：每组复数中的z1与z2有什么关系？提示：实部相等，虚部互为相反数．问题2：试计算每组中的z1z2，你发现有什么规律？提示：z1与z2的积等于z1的实部与虚部的平方和．共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做共轭复数．复数z的共轭复数用来表示，也就是当z＝a＋bi时，＝a－bi.于是z＝a2＋b2＝|z|2.复数的除法我们知道实数的除法是乘法的逆运算，类似地，复数的除法也是复数乘法的逆运算，给出两个复数a＋bi，c＋di(c＋di≠0)．若(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi，则x＋yi＝叫做复数a＋bi除以c＋di的商．问题1：根据乘法运算法则和复数相等的概念，请用a，b，c，d表示出x，y.提示：由(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi得xc－yd＋(xd＋yc)i＝a＋bi.即∴问题2：运用上述方法求两个复数的商非常繁琐，有更简便的方法求两个复数的商吗？提示：可以用分母的共轭复数同乘分子与分母后，再进行运算．复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＋i(c＋di≠0)．1．复数的加法、减法和乘法与多项式的加法、减法和乘法相类似，但应注意在乘法中必须把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．2．复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．复数的加减运算[例1]计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．[思路点拨]利用复数加减运算的法则计算．[精解详析](1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.[一点通]复数加、减运算的方法技巧：(1)复数的实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减；(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项．1．计算：(1＋i)＋(－2－i)－(3－2i)．解：(1＋i)＋(－2－i)－(3－2i)＝[－1＋(－)i]－(3－2i)＝－4＋(2＋－)i.2．若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，求实数x，y的值．解：原式化为3y－10yi＋(－2x＋xi)＝1－9i.即(3y－2x)＋(x－10y)i＝1－9i.∴∴复数的四则运算[例2]计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＋i5；(4)＋2.[思路点拨]按照复数的乘法与除法运算法则进行计算．[精解详析](1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－...
