3．3复数的几何意义[对应学生用书P43]复平面的定义问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以．问题2：试说明理由．提示：因复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数的几何意义已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)．问题1：在复平面内作出复数z所对应的点Z.提示：如图所示．问题2：向量和点Z有何关系？提示：有一一对应关系．问题3：复数z＝a＋bi与有何关系？提示：也是一一对应．1．复数与点，向量间的对应关系2．复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模(或绝对值)，记作|z|，且|z|＝|a＋bi|＝.复数加减法的几何意义如图、分别与复数a＋bi，c＋di对应．问题1：试写出、及＋、－的坐标．提示：＝(a，b)，＝(c，d)，＋＝(a＋c，b＋d)，－＝(a－c，b－d)．问题2：向量＋及－所对应的复数分别是什么？提示：(a＋c)＋(b＋d)i及(a－c)＋(b－d)i.1．复数加法的几何意义设向量，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且和不共线．如图，以，为邻边画平行四边形OZ1ZZ2，则其对角线OZ所表示的向量就是复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．2．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设，分别与复数a＋bi，c＋di相对应，且，不共线，如图．则这两个复数的差z1－z2与向量－(等于)对应，这就是复数减法的几何意义．3．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则|z1－z2|＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．复数的几何意义[例1]实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应的点Z在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x－y－3＝0上？[思路点拨]利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则当a<0且b<0时，复数z对应的点在第三象限；当a>0且b<0时，复数z对应的点在第四象限；当a－b－3＝0时，复数z对应的点在直线x－y－3＝0上．[精解详析]因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．若已知复数z＝a＋bi，则当a＜0，且b＜0时，复数z对应的点在第三象限；当a＞0，且b＜0时，复数z对应的点在第四象限；当a－b－3＝0时，复数z对应的点在直线x－y－3＝0上．(1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z在第三象限．(2)当实数x满足即2＜x＜5时，点Z在第四象限．(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．[一点通]按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．1．(湖北高考改编)在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应点位于第________象限．解析：z＝＝＝＝i＋1的共轭复数为1－i，对应的点为(1，－1)在第四象限．答案：四2．求当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限；(2)位于x轴的负半轴上．解：(1)由题意，知解得即－7
