3.2.1复数的加法与减法学习目标核心素养1．掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算．(重点)2.理解复数加减法运算的几何意义，能解决相关的问题．(难点、易混点)通过复数的加法与减法的学习，提升学生的数学运算素养.一、复数代数形式的加减法1．运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2．加法运算律设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．二、复数加减法的几何意义若复数z1，z2对应的向量分别为OZ1，OZ2.复数加法的几何意义复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数复数减法的几何意义复数z1－z2是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终点的向量Z2Z1所对应的复数1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．()(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．()(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．()[答案](1)×(2)×(3)×2．已知向量OZ1对应的复数为2－3i，向量OZ2对应的复数为3－4i，则向量Z1Z2对应的复数为__________．[解析]Z1Z2＝OZ2－OZ1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.[答案]1－i3．已知z1＝3＋4i，z2＝4－3i，则(z1＋z2)－(1＋2)＝__________.[解析]z1＋z2＝3＋4i＋4－3i＝7＋i，1＋2＝3－4i＋4＋3i＝7－i，∴(z1＋z2)－(1＋2)＝7＋i－(7－i)＝2i.[答案]2i复数的加减法运算【例1】(1)＋(2－i)－＝________.(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.(1)[解析]＋(2－i)－＝＋i＝1＋i.[答案]1＋i(2)解：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.(3)解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i.1．复数加减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A．－1＋iB．1－iC．iD．－i[解析](1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.[答案]A复数加减法的几何意义【例2】(1)在复平面内，平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为__________．(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.[思路探究](1)先写出点A，B，C的坐标，利用向量AB＝DC列方程求解．(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．(1)[解析]设D(x，y)，类比向量的运算知AB＝DC，所以有复数－i－(1＋3i)＝2＋i－(x＋yi)，得x＝3，y＝5，所以D对应的复数为3＋5i.[答案]3＋5i(2)解：设复数z1，z2，z1＋z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ1Z中，由余弦定理，得cos∠OZ1Z＝＝－，所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z1OZ2＝60°，因此△OZ1Z2是正三角形，所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1．若把上例(2)中的条件“|z1＋z2|＝”改为“|z1－z2|＝1”，则|z1＋z2|等于多少？[解]设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，由|z1|＝|z2|＝1，|z1－z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，△OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，得|z1＋z2|2＝|z1|2＋|z2|2－2|z1|·|z2|cos∠OZ1Z，因为∠Z1OZ2＝60°，所以∠OZ1Z＝120°，所以|z1＋z2|＝.利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论1．技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．2．常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：(1)为平行四边形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|＝|z2|，则四...
