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Th4设a,b,c为群G中任意三个元素，则1111)(abcabc证明：))((111abcabc111)(abccab11)(abba1aae又))((111abcabce故1111)(abcabc，得证。注：此Th可推广到G的任意多个元素的情形。三、交换群（阿贝尔群）定义3若对于群G中的任意两个元素a,b恒有abba，则称G为交换群（阿贝尔群）注：一般的群中交换律不一定成立。eg6非零实数集*R对于普通除法能否作成一个交换群？解：1）*,Rba，有*Rba，故封闭性满足；2）*,,Rcba，cbacbast)()(,，故结合律不满足。所以实数集*R对于普通除法不能作成一个群，更不能作成交换群。eg70AaAMnnij对于矩阵的乘法能否作成一个交换群？解：M于矩阵的乘法成一个群，因为矩阵的乘法不满足交换律，所以M不是交换群。eg8naaaxxM,...,,21对于向量的加法能否作成一个交换群？解：分别验证群定义中的四个条件（略），可证M对于向量的加法作成一个群;又,,Myx有xyyx，故M对于向量的加法作成一个交换群。四、a的周期定义4设a为群G的一个元素，能使ean成立的最小正整数n成为元素a的周期或a的阶。若这样的n不存在，则称元素a的周期无限。注：1）设a为群G的一个元素，称aaaan...为a的n次方。规定ea0，Znaann,1，),(,,Zlkaaaaakllklklk2）恒等元的阶（周期）为1eg91,,1321iU,其中1i对于复数的乘法能否作成一个3阶的交换群，求出各个元素的阶。解：1的阶为1；1的阶为3；2的阶为3。五、循环群定义5若群G的每个元素都是某固定元素a的幂)(Zkak，则称G为循环群，也称群G是由元素a生成的，记作)(aG，称元素a为群G的生成元。元素a的周期就是循环群)(aG的阶。eg10证明：（1）1,12U对于普通乘法作成一个循环群证：2U的生成元为-1，即12U，且-1的阶为2.（2）iiU,,1,14对于复数乘法作成一个循环群证：4U的生成元为i，即iU4，且i的阶为4.或者4U的生成元为i，即iU4，且i的阶为4.（3）整数加群Z为一个循环群证：Zm，有1...11m1...11m1Zm，有)1(...)1()1(m)1(...)1()1(m)1(010综上，Z的生成元为1，即)1(Z，且1的阶为无限。11.2置换群一、置换的定义1、变换：一个由集合A到集合A的映射叫做A的一个变换。如}3,2,1{A,21:132,13,为A的一个变换；21:222,23,为A的一个变换；2、一一变换：一个由集合A到集合A的一一映射叫做A的一一变换。如1如13、置换：一个有限集合A的一一变换称为A的置换。n次置换：若},...,3,2,1{nA，n个元素共有!n个排列，取其中任一排列321,...,iii可组成A的一个置换，称为n次置换，常用二线式表示：niiiinP......321321如132321P为一个3次置换，4253154321P为一个5次置换.注：一个置换的二线式表示不唯一。如132321P213132231123....4、置换的乘法：设21,PP均为n此置换，置换的乘积21PP是指先施行2P，再施行1P所得的结果。Eg1若2313211P，1323212P，求21PP及12PP解：21PP13232123132113232112313212332121PP231321132321231321312231312321可见1221PPPP。注：置换的乘法中施行变换的次序是先右后左。二、置换群定义：一个有限集合的若干个置换关于置换乘法作成的群称为置换群。Eg2证明：所有n次置换作成的集合nG关于置换的乘法作成一个置换群。证：1)nGPP21,,设niiinP......21211，njjjnP......21212。因为2P可以写成nnkkkiiiP......21212所以nnniiinkkkiiiPP.....