第3课时证明与探索性问题题型一证明问题例1(2017·全国Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)．由NP＝NM得x0＝x，y0＝y.因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)．由OP·PQ＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1.又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.思维升华圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．跟踪训练1已知椭圆T：＋＝1(a>b>0)的一个顶点A(0,1)，离心率e＝，圆C：x2＋y2＝4，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN.(1)求椭圆T的方程；(2)求证：PM⊥PN.(1)解由题意可知b＝1，＝，即2a2＝3c2，又a2＝b2＋c2，联立解得a2＝3，b2＝1.∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)证明方法一①当P点横坐标为±时，纵坐标为±1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM⊥PN.②当P点横坐标不为±时，设P(x0，y0)，则x＋y＝4，设kPM＝k，PM的方程为y－y0＝k(x－x0)，1联立方程组消去y得(1＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3k2x－6kx0y0＋3y－3＝0，依题意Δ＝36k2(y0－kx0)2－4(1＋3k2)(3k2x－6kx0y0＋3y－3)＝0，化简得(3－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0，又kPM，kPN为方程的两根，所以kPM·kPN＝＝＝＝－1.所以PM⊥PN.综上知PM⊥PN.方法二①当P点横坐标为±时，纵坐标为±1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM⊥PN.②当P点横坐标不为±时，设P(2cosθ，2sinθ)，切线方程为y－2sinθ＝k(x－2cosθ)，联立得(1＋3k2)x2＋12k(sinθ－kcosθ)x＋12(sinθ－kcosθ)2－3＝0，令Δ＝0，即Δ＝144k2(sinθ－kcosθ)2－4(1＋3k2)[12(sinθ－kcosθ)2－3]＝0，化简得(3－4cos2θ)k2＋4sin2θ·k＋1－4sin2θ＝0，kPM·kPN＝＝＝－1.所以PM⊥PN.综上知PM⊥PN.题型二探索性问题例2在平面直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．解(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a)．又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0.y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0.故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝＋2＝＝.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．思维升华解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．跟踪训练2(2018·广州模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点Q，且离心率e＝，直线l与E相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C，D两点，O为坐标原点．(1)求椭圆E的方程；(2)判断是否存在直线l，满足2OC＝OM＋OD，2OD＝ON＋OC？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解(1)由题意得解得所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)存在直线l，满足2OC＝OM＋OD，2OD＝ON＋OC.理由如下：方法一由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m(km≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则C，D(0，m)．由方程组得(1＋2k2)x2＋4km...
