新人教A版选修4-5高中数学数学归纳法教案VIP免费

数学归纳法一、教学目标：理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，会用归纳、猜想、证明这种探索思想解决一些数学问题．二、教学重点：数学归纳法及其原理的理解，归纳、猜想、证明这一探索思想的应用．三、教学过程：（一）主要知识：数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.1．归纳法及其分类2．数学归纳法及其原理3．数学归纳法的基本步骤4．归纳、猜想、证明的探索思想（二）知识点详析1．归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。2．数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。3．数学归纳法的基本形式：设P(n)是关于自然数n的命题，若1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.4．数学归纳法的应用：运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、整除性问题、几何中计算问题，数列的通项与和等等。用心爱心专心（三）例题分析：例1．基础训练题⑴用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121nn(n1)时，由n＝k(k1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是（）A．2k1B．2k－1C．2kD．2k＋1⑵数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时an＝an1＋2n－1，依次计算a2、a3、a4后，猜想an的表达式是（）A．3n－2B．n2C．3n1D．4n－3⑶设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。简解：⑴（2k1－1）－（2k－1）＝2k，选C；⑵计算出a1＝1、a2＝4、a3＝9、a4＝16再猜想an，选B；⑶答：k－1。例2．试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.分析：本题主要考查数学归纳法证明不等式，注意等差数列、等比数列的性质的应用及数学归纳法证明不等式的一般步骤.证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=qb,c=bq(q＞0且q≠1)∴an+cn=nnqb+bnqn=bn(nq1+qn)＞2bn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想2nnca＞(2ca)n(n≥2且n∈N*)下面用数学归纳法证明：用心爱心专心①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴222)2(2caca②设n=k时成立，即,)2(2kkkcaca则当n=k+1时，41211kkca(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞41(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=41(ak+ck)(a+c)＞(2ca)k·(2ca)=(2ca)k+1说明：1．应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.2．本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·A．例3．已知数列811322··，得，…，8212122··nnn()()，…。Sn为其前n项和，求S1、S2、S3、S4，推测Sn公式，并用数学归纳法证明。解：计算得S1＝89，S2＝2425，S3＝4849，S4＝8081，猜测Sn＝()()2112122nn(n∈N)。当n＝1时，等式显然成立；假设当n＝k时等式成立，即：Sk＝()()2112122kk，当n＝k＋1时，Sk1＝Sk＋812123...