刚体绕定轴转动微分方程VIP专享VIP免费

☞§6-1刚体定轴转动微分方程☞§6-2转动惯量☞*§6-3刚体平面运动微分方程第六章刚体定轴转动微分方程第六章刚体定轴转动微分方程设定轴转动刚体某瞬时的角速度为ω，角加速度为εF)e(iF)i(i设其上第i个质点所受的外力为，内力为因刚体作定轴转动，故只考虑力矩的效应)()()i()e(FFFiizizmm第i个质点所受的力Fi对转轴z轴之矩为§6-1§6-1刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程zωεF)e(iaitainrimi•)()()i()e(FFizizmmrmii2)((e)(e)(e)FFFizinitzm)()()((e)(e)(e)FFFizzinzitzmmm)((e)Fitzmramiitirrmiii对整个刚体)()()((i)(e)FFFizizizmmm)((e)FizmrmJiiz2令)((e)FizzmJ即——刚体对z轴的转动惯量,它是转动刚体惯性的度量定轴转动刚体转动惯量与转动角加速度的乘积等于作用于刚体上的所有外力对转轴之矩的代数和。——刚体定轴转动微分方程OR§6-2§6-2转动惯量转动惯量一、简单形体的转动惯量一、简单形体的转动惯量均质细直杆均质细直杆dxxrmJiiz2lxdxlm0232lm均质薄圆环均质薄圆环RzOrmJiiz2Rmi2Rm2均质圆板均质圆板ROrrdrRmJ022222Rmmi二、回转半径二、回转半径((惯性半径惯性半径))mJzzrdrlxzO三、平行轴定理三、平行轴定理riyzxO·miJz=JC+md2刚体对任一定轴z轴的转动惯量Jz，等于它对通过质心C且与z轴平行的C轴的转动惯量JC，加上其质量m与两轴间的距离d的平方乘积。rmJiiz2)(22yxmiii])()([22yyxxmiCiCi)()(2222yxmmyxiiiiCCymyxmxiiCiiC22z'轴过质心C,则00ymymxmxmCiiiCiii故Cz'x'y'dri'【证明】设质心C的坐标为(xC,yC),则任一点mi的坐标满足:xi=xC+xi',yi=yC+yi'rmdmJiiz22即JdmC2JJCzmin显然0yxCC【例6-1】图示质量为m长度为l的均质直杆OA和质量为m半径为R的均质圆盘C在A点刚性连接，求系统对垂直于图面且过O点的轴的转动惯量。【解】JO=JO(OA)+JO(C)2)(31mlJOAO2)()()(RlmJJCCCOmlRmRmlJO223342222)(21RlmmROCA四、例题四、例题§6-3§6-3刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程由质心运动定理得刚体的平面运动可视为随质心（基点）的平动和绕质心的转动的合成。由相对于质心的动量矩定理得CrCFriCm)(FiCCMJ)(FiCCiyCixCMJFymFxm应用时多取投影式φDO一、运动微分方程一、运动微分方程【例6-6】均质圆轮C质量为m，其上绕以细绳，绳的一端固定于O点。求其下降时质心C的加速度和绳的拉力。OC【解】1）轮C作平面运动运动微分方程为TCmg)(FiCCiyCMJFymTrrmTmgymC22ryC2）轮C左边沿与绳接触点I为瞬心3）求解mgT31gyC32yCI二、例题二、例题AO【例6-7】均质圆盘O和C的质量分别为M和m，半径分别为R和r。圆盘O可绕通过点O的水平轴转动，绳的一端绕在圆盘O上，另一端绕在圆盘C上。求当圆盘C下落时质心C的加速度及绳AB段的张力。TCBTmgMgNyAOyByCrC【解】1）轮O作定轴转动其平面运动微分方程为)(FiOOOMJCCrry点C的绝对加速度mMMmgT23mMgmMCy23)(22）轮C作平面运动FymiyCTmg)(FiCCCMJTrTR点B为相对瞬心CrBCyyy4）求解CrAyy点A的加速度OARy其平面运动微分方程为【例6-8】长为l质量为m的均质直杆A端用细绳悬挂于天花板上，B端静止放置于光滑水平面上。求突然剪断绳时点B的加速度及杆AB的角加速度。OABCmgNatCBaCε【解】1）AB杆作平面运动列平面运动微分方程)1(NmgamCsin5.0NlJC)2(sin6Nmlε2）分析B点的加速度aaaanCBtCBCB因ω=0，故0anCB求aB的投影0sinaaatCBCBy）（即4cos5.0laB)sin31(22sin32gaBlg)sin31...