2.2.3两条直线的位置关系[学习目标]1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,能根据直线的一般式方程判定两条直线的位置关系,能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.进一步体会几何问题代数化的基本思想.[知识链接]1.直线的倾斜角α的取值范围0°≤α＜180°.2.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝y2－y1x2－x1.3.直线方程的形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式.[预习导引]1.两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系,可以用方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解的个数进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下：方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(A2C1－A1C2≠0)或A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)有唯一解相交有一个交点A1B2－A2B1≠0或A1A2≠B1B2(A2B2≠0)有无数个解重合无数个交点A1＝λA2,B1＝λB2,C1＝λC2(λ≠0)或A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)(2)两条直线l1：y＝k1x＋b1,l2：y＝k2x＋b2的位置关系,也可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断.具体判断方法如表所示.位置关系平行重合相交一般相交垂直图示k,b满足条件k1＝k2且b1≠b2k1＝k2且b1＝b2k1≠k2k1·k2＝－12.两条直线垂直对坐标平面内的任意两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0,有l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.如果B1B2≠0,则l1的斜率k1＝－A1B1,l2的斜率k2＝－A2B2.又可以得出：l1⊥l2?k1k2＝－1.要点一直线的交点问题例1求经过原点,且经过直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点的直线l的方程.解方法一解方程组2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，得x＝－1，y＝－2，所以直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点坐标为(－1,－2).又直线l经过原点,所以直线l的方程为y－0－2－0＝x－0－1－0,即2x－y＝0.方法二设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0, 直线过原点(0,0),∴8－λ＝0,λ＝8,∴直线方程为2x＋3y＋8＋8x－8y－8＝0,10x－5y＝0,即2x－y＝0.规律方法本题中的方法一是通法通解.方法二利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程,减少了运算量,因此我们必须熟练掌握这一方法,并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题.跟踪演练1求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P,且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.解方法一解方程组x－2y＋4＝0，x＋y－2＝0得P(0,2).因为l3的斜率为34,且l⊥l3,所以直线l的斜率为－43,由斜截式可知l的方程为y＝－43x＋2,即4x＋3y－6＝0.方法二设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0,即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0,又 l⊥l3,∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0,解得λ＝11,∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.要点二两条直线的平行关系例2判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行：(1)l1经过点A(－1,－2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(－1,－1)；(2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2)；(3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(－1,3),N(2,0)；(4)l1经过点A(－3,2),B(－3,10),l2经过点M(5,－2),N(5,5).解(1)k1＝1－－22－－1＝1,k2＝－1－4－1－3＝54,k1≠k2,l1与l2不平行；(2)k1＝1,k2＝2－12－1＝1,k1＝k2,∴l1∥l2或l1与l2重合.(3)k1＝0－11－0＝－1,k2＝0－32－－1＝－1,k1＝k2,数形结合知,l1∥l2.(4)l1与l2都与x轴垂直,∴l1∥l2.规律方法判断两条直线平行,应首先看两条直线的斜率是否存在,即先看两点的横坐标是否相等,对于横坐标相等是特殊情况,应特殊判断.在证明两条直线平行时,要区分平行与重合,必需强调不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.跟踪演练2已知直线l1经过点A(3,a),B(a－1,2),直线l2经过点C(1,2),D(－2,a＋2).若l1∥l2,求a的值.解设直线l2的斜率为k2,由斜率公式得k2＝2－a＋21－－2＝－a3.若l1∥l2,则l1的斜率k1＝－a3,由斜率公式k1＝2－aa－4,则2－aa－4＝－a3,∴a＝1或a＝6.经检验,当a＝1或a＝6时,l1∥l2.要点三两条直线的垂直关系例3判断下列各题中的直线l1,l2是否垂直：(1)l1经过点A(－1,－2),B(1,2),l2经过点P(－2,－1),Q(2,1)；(2)l1经过点A(3,4),B(3,6),l2经过点P(－5,20),Q(5,20)....
