正弦定理与余弦定理VIP免费

3．7正弦定理与余弦定理考点梳理1.正弦定理____________________，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝________________；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，____________；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝__________等形式，以解决不同的三角形问题．asinA＝bsinB＝csinC＝2RsinA∶sinB∶sinCc＝2RsinCc2R2．余弦定理a2＝⑤______________，b2＝⑥______________，c2＝⑦____________.余弦定理可以变形为：cosA＝⑧__________________，cosB＝⑨__________________，cosC＝⑩__________________.3．S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab考点自测1.已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°解析：根据正弦定理asinA＝bsinB得：2sinA＝3sin60°⇒sinA＝22，又a＜b，∴A＜B，A＝45°，故选C.答案：C2．在△ABC中，设命题p：asinB＝bsinC＝csinA，命题q：△ABC是等边三角形．那么命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：p：asinB＝bsinC＝csinA.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，∴sinA＝sinB＝sinC.∴A＝B＝C⇒a＝b＝c.答案：C3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析： a2＋c2－b22ac＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝32，∴sinB＝32，故选D.答案：D4．已知△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝52b，A＝2B，则cosB＝__________.解析：由正弦定理sinAa＝sinBb，又 a＝52b，A＝2B，∴sin2B52b＝sinBb，b≠0，sinB≠0，∴2cosB52＝1，∴cosB＝54.答案：545．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．解析：如图所示，B＝60°，AB＝1，BD＝2.由余弦定理知AD＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos60°＝12＋22－2×1×2cos60°＝3.答案：3疑点清源1.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．2．解三角形的类型在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解题型探究题型一正弦定理的应用例1.在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A、C和c.解析： B＝45°＜90°且asinB＜b＜a，∴△ABC有两解．由正弦定理得sinA＝asinBb＝3sin45°2＝32，则A为60°或120°.①当A＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝75°，c＝bsinCsinB＝2sin75°sin45°＝2sin45°＋30°sin45°＝6＋22.②当A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°，c＝bsinCsinB＝2sin15°sin45°＝2sin45°－30°sin45°＝6－22.故在△ABC中，A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.点评：已知两边和其中一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断．变式探究1已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答．(1)a＝7，b＝8，A＝105°；(2)a＝10，b＝20，A＝80°；(3)b＝10，c＝56，C＝60°；(4)a＝23，b＝6，A＝30°.解析：(1)a＝7，b＝8，a＜b，则有A＜B，而A＝105°＞90°，∴本题无解．(2)a＝10，b＝20，a＜b，A＝80°＜90°.讨论如下： bsinA＝20sin80°＞20sin60°＝103，∴a＜bsinA，∴本题无解．(3)b＝10，c＝56，b＜c，C＝60°＜90°，本题有一解． sinB＝bsinCc＝10sin60°56＝22，∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°，∴a＝bsinAsinB＝10sin75°sin45°＝10×6＋2422＝5(3＋1)(4)a＝23，b＝6，a＜b，A＝30°＜90°.又 bsinA＝6sin30°＝3，a＞bsinA，∴本...