吉林省延吉市金牌教育中心高中数学第四章热点专题二直线与圆的位置关系新人教A版必修2直线与圆的位置关系是高考中的热点内容之一，主要有：1．直线与圆的三种位置关系．(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点．2．直线与圆位置关系的两种判定方法．(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组的解的个数来研究．若有两组不同的实数解，即Δ>0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切，若无实数解，即Δ<0，则相离．(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断．当dr时，直线与圆相离．3．求弦长．直线与圆相交有两个交点，设弦长为l，弦心距为d，半径r，则有()2＋d2＝r2.即半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，利用此关系式可解．代数法：|AB|＝|x1－x2|(k是AB的斜率，x1，x2是两交点横坐标)．4．圆的切线．(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.(2)圆的切线方程的求法．①求过圆C外一点P(x0，y0)和圆C相切的切线方程．几何法：设切线为y－y0＝k(x－x0)，由圆心C到切线距离等于圆的半径r，列方程求k，若有两解即得切线方程，若只有一解，则另一条为x＝x0.代数法：设切线为y－y0＝k(x－x0)，与圆方程联立，消元，由Δ＝0求出k，讨论方法同上．②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)求圆的切线方程．圆心C(a，b)，k＝－，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，如果kPC不存在，则k＝0，如果kPC＝0，则切线方程为x＝x0.解决直线与圆位置关系问题的主导方法是几何法．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．1解析：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2，所以d＝＝1.由点到直线的距离公式得d＝，从而k(24k＋7)＝0.即k＝0或k＝－，所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)(k≠0)，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)．因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即＝，整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因为k的取值范围有无穷多个，所以或解得或这样点P只可能是点P1或点P2.经检验点P1和P2满足题目条件．►跟踪训练3．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．解析：如图，取AC的中点F，BD的中点E，则OE⊥BD，OF⊥AC.又AC⊥BD，∴四边形OEMF为矩形，2∴d21＋d22＝OM2＝3.又|AC|＝2，|BD|＝2，∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝2·＝2＝2.∵0≤d22≤3.∴当d22＝时，S四边形ABCD有最大值为5.答案：54．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.解析：x2＋y2＋2ay＝6，x2＋y2＝4，两式相减得y＝.联立消去y得x2＝(a>0)．∴2＝2，解得a＝1.答案：13
