§9.3圆的方程1．圆的定义在平面内，到的距离等于的点的叫圆．确定一个圆最基本的要素是_________和________．2．圆的标准方程与一般方程(1)圆的标准方程：方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)叫做以点____________为圆心，_________为半径长的圆的标准方程．(2)圆的一般方程：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(____________)叫做圆的一般方程．注：将上述一般方程配方得＋＝，此为该一般方程对应的标准方程，表示的是以____________为圆心，____________为半径长的圆．3．点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，点M(x0，y0)，(1)点M在圆上；(2)点M在圆外：；(3)点M在圆内：.4．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．自查自纠1．定点定长集合圆心半径长2．(1)(a，b)r(2)D2＋E2－4F>03．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(2)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2(3)(x0－a)2＋(y0－b)21C．m1解：由(4m)2＋4－4×5m>0，得m<或m>1.故选B.()圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解：易得圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.()已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B.C.D.解：BC的垂直平分线为x＝1，AB的垂直平分线为y－＝，直线BC，AB的交点为P，点P为圆心，易得距离d＝.故选B.()若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为____________．解： 点(1，0)关于直线y＝x的对称点为(0，1)，∴圆心为(0，1)．∴圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.故填x2＋(y－1)2＝1.圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1，2)的圆的方程是________________．解法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.解法二(数形结合法)：作图，根据圆上的点到圆心的距离为1易知圆心为(0，2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故填x2＋(y－2)2＝1.类型一求圆的方程已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程，并且判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．解法一(待定系数法)：根据已知条件，圆心C(a，b)是P1P2的中点，那么它的坐标为a＝＝5，b＝＝6.再根据两点的距离公式，得圆的半径长是r＝|CP1|＝＝.因此所求圆的方程是(x－5)2＋(y－6)2＝10.解法二(轨迹法)： P1P2为直径，∴圆上任意一点与P1，P2的连线互相垂直．设P(x，y)为所求圆上任意一点， PP1⊥PP2，∴kPP1·kPP2＝－1，即·＝－1，得x2＋y2－10x－12y＋51＝0，其标准形式(x－5)2＋(y－6)2＝10即为所求方程．分别计算点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)与圆心C(5，6)的距离，得|CM|＝，|CN|＝＞，|CQ|＝3＜.因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．【点拨】(1)求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来讲，关键在于求出圆心坐标和半径长；从圆的一般方程来讲，若知道圆上的三个点则可求出圆的方程．因此，待定系数法是求圆的方程的常用方法．(2)用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”等．(3)常见圆的方程的设法：标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x2＋y2＝r2x2＋y2－r2＝0过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2x2＋y2＋Dx＋Ey＝0圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2x2＋y2＋Dx＋F＝0圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Ey＋F＝0与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0根据下列条件，求圆的方程．(1)经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．解：(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P，Q两点的坐标分别代入得又令y＝0，得x2＋Dx＋...
