高中数学 小问题集中营 专题2.3 三角恒等变换中角的变换技巧-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题2.3三角恒等变换中角的变换技巧一、问题的提出三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍半角公式等进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上,对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角恒等变换的重要特点.二、问题的探源1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα．(2)cos2α＝cos2α－sin2α=2cos2α－1=1－2sin2α(3)tan2α＝.3．半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin＝±.(2)cos＝±.(3)tan＝±＝＝.三、问题的佐证(一)非特殊角的求值问题例1.计算：__________.【答案】【解析】点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等例2.的值为（）A.B.C.D.【答案】C(二)利用已知条件中的角表示目标中的角例3.(1)已知α，β为锐角，sinα＝，cos(α－β)＝，则cosβ的值为________．解：∵sinα＝<，α∈，∴0<α<.∵cos＝<，α－β∈，0＜β＜，∴－<α－β<0.∴cosα＝＝＝.sin(α－β)＝－＝－＝－.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.故填.（2）已知，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【点拨】给值求值问题，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．(三)利用诱导公式转化角例4.已知，，等于（）A．B．C．D．解：，所以，由于，所以，因此，则.故选D.四、问题的解决1.若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，故选A.2.等于（）A．B．C.D．【答案】B【解析】原式．3.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵，∴∴，故选：B5.在中，，则的值为（）A.B.C.或D.【答案】A6．的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，化简得，即.7．已知（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵，，∴，∵，∴，则，故选项为B.8．若，且，则的值为__________．【答案】9.在中，若，则的最大值为__________．【答案】【解析】，，若，则均为钝角，不可能，故，的最大值为，故答案为.10.__________．【答案】【解析】由，及，可得，所以.11.若，，则__________．【答案】【解析】由，两边平方得：，∴，①∵，可得，结合，可得，则，由①得，，则=．∴．12.已知，则的值为____．【答案】