第1节平面向量的概念及线性运算考试要求1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与ba－b＝a＋(－b)的差数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa．[常用结论与易错提醒]1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An-1An＝A1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．3.PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心．诊断自测1．判断下列说法的正误．(1)零向量与任意向量平行．()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()(5)在△ABC中，D是BC中点，则AD＝(AC＋AB)．()解析(2)若b＝0，则a与c不一定平行．(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上．答案(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√2．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB与BA相等．则所有正确命题的序号是()A.①B.③C.①③D.①②解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB与BA互为相反向量，故③错误.答案A3.(2019·绍兴一中适考)在△ABC中，BD＝DC，则AD＝()A.AB＋ACB.AB＋ACC.AB＋ACD.AB－AC解析因为BD＝DC.由向量的减法运算得2(AD－AB)＝AC－AD，则AD＝AB＋AC.答案B4.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.解析 向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解得λ＝μ＝.答案5.(必修4P92A12改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝______，BC＝________(用a，b表示).解析如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.答案b－a－a－b6.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________.解析如图所示，DE＝BE－BD＝BC－BA＝(AC－AB)＋AB＝－AB＋AC.又DE＝λ1AB＋λ2AC，且AB与AC不共线，所以λ1＝－，λ2＝.答案－考点一平面向量的概念【例1】下列命题中不正确的是________(填序号).①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB＝DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c.解析①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确. AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|AB|＝|DC|，AB∥DC且AB，DC方向相同，因此AB＝DC.③正确. a＝b...
