高考数学二轮复习 专题六 解析几何 第3讲 专题突破讲义 圆锥曲线的综合问题 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

第3讲圆锥曲线的综合问题1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题．2．试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．热点一范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1(2017届天津市红桥区二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)设与圆O：x2＋y2＝相切的直线l交椭圆C于A,B两点，求△OAB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程．解(1)由题意可得解得a2＝3，b2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)①当k不存在时，x＝±，∴y＝±，∴S△OAB＝××＝.②当k存在时，设直线方程为y＝kx＋m，A，B，联立得x2＋6kmx＋3m2－3＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.d＝r⇒4m2＝3.＝·＝·＝·＝·＝·≤2，当且仅当＝9k2，即k＝±时等号成立，此时m＝±1.∴S△OAB＝×r≤×2×＝，∴△OAB面积的最大值为，此时直线方程为y＝±x±1.思维升华解决范围问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练1(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2.(1)求椭圆C的方程；(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．解(1)由椭圆的离心率为，得a2＝2(a2－b2)，又当y＝1时，x2＝a2－，得a2－＝2，所以a2＝4，b2＝2.因此椭圆C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程，得得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0.由Δ>0，得m2<4k2＋2，(*)且x1＋x2＝－，因此y1＋y2＝，所以D.又N(0，－m)，所以|ND|2＝2＋2，整理得|ND|2＝.因为|NF|＝|m|，所以＝＝1＋.令t＝8k2＋3，t≥3，故2k2＋1＝.所以＝1＋＝1＋.令y＝t＋，所以y′＝1－.当t≥3时，y′>0，从而y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，因此t＋≥，当且仅当t＝3时等号成立，此时k＝0，所以≤1＋3＝4.由(*)得－