高中数学浅淡赋值法在抽象函数中的应用学法指导VIP免费

高中数学浅淡赋值法在抽象函数中的应用我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数。这种函数表现形式的抽象性，使得直接求解析式比较难。解决这类函数可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过恰当的运算和推理加以解决。下面分类举例加以说明。一、判断函数的奇偶性例1.若fxyfxfy()()()对于任意实数x，y均成立，且f(x)不恒为0，请判断函数f(x)的奇偶性。解：令xy0，则有fff()()()000，故有f()00令yx，则有ffxfx()()()0，故有fxfx()()，又因为fx()不恒为0，所以函数f(x)是奇函数。例2.已知函数fxxR()()为非零函数，若有fxyfxfy()()()，试判断函数fx()的奇偶性。解：令xy11，，则有fff()()()111，故有f()10令xy1，则有fff()()()111，故有f()10令y1，则有fxfxffx()()()()1，且fx()为非零函数，所以函数fx()是偶函数。二、判断函数的单调性例3.函数fxxR()()，当x0时，01fx()，且对任何实数x，y恒有fxyfxfy()()()，试判断函数fx()的单调性。解：令xy0，则有ff()()002，故有ff()()0001或又有fffff()()()()()10101001，而≠，所以当x0时，01fx()，当x0时，x0，故有01fx()，而fxfxf()()()01，故有fxfx()()110。又当x＝0时，f()010，故对于任何xR，有fx()0。令xxxxfxx122121001，则有，故()，故fxfxxxfxfxxfx()[()]()()()21211211·所以函数fx()是减函数。三、判断函数的周期性例4.函数fxxR()()，对任何实数a、b恒有fabfabfafb()()()()2，且存在常数c0，使fc()20，求证：fx()为周期函数。证明：令axcbc22，，则fabfabfxcfxfxcfc()()()()()()2220·即fxcfx()()又fxcfxccfxcfx()[()]()()2所以函数fx()是周期函数，最小正周期为2c。用心爱心专心四、求函数的解析式例5.设x≠0，函数fx()满足2110fxfxx()()，求函数fx()的解析式。解：由题意知2110fxfxx()()用x换1x代入上式得：21101fxfxx()()则①×2－②得：3210101fxxx()·所以fxxx()231013101··五、求函数的值域例6.函数fxxR()()*为增函数，且满足fxyfxfy()()()，求函数fx()的值域。解：令xy1，则有ffff()()()()11110，故有。①当012xx时，不妨令xkxk211()，则有fxfxfkxfx()()()()2111fkfxfxfkf()()()()()1110故当xfx10时，有()。②当021xx时，有xkxk2101()有fxfxfkf()()()()1210故当01x时，有fx()0所以当xR*时函数fx()的值域为R。［练一练］若对常数m和实数xR，等式fxmfxfx()()()11恒成立，求证：函数fx()是周期函数。提示：fxmfxmmfxmfxm()[()]()()2111fx()，fxmfxmfx()()()412。用心爱心专心