4.4.4平摆线与圆的渐开线练习1．渐开线6(cossin)6(sincos)xy＝，＝－(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．2．已知一个圆的参数方程为3cos,3sinxy(θ为参数)，那么圆的平摆线方程中与参数π2对应的点A与点B3π,22之间的距离为__________．3．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数π2，则点P的坐标为________．4．已知圆的渐开线的参数方程是cossin,sincosxy(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数π4时对应的曲线上的点的坐标为________．5．参数方程3(cossin),3(sincos)xy(φ为参数)表示的曲线是__________．6．平摆线2(sin),2(1cos)xttyt(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是__________．7．如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是__________．8．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线(sin),(1cos)xryr(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为__________．9．已知平摆线的生成圆的直径为80mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．10．已知圆的渐开线(cossin),(sincos)xryr(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．1参考答案1.答案：(63，0)和(63，0)解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为221362xy，整理可得22114436xy，这是一个焦点在x轴上的椭圆．221443663cab，故焦点坐标为(63，0)和(63，0)．2.答案：10解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为3(sin),3(1cos)xy(φ为参数)，把π2代入参数方程中可得π3(1),23,xy)即π31,32A.∴22π3|31π(32)1022AB.3.答案：(π，2)解析：由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为2(cossin),2(sincos)xy(φ为参数)．当π2时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为(π，2)．4.答案：222π22π,2828解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当π4时对应的坐标，只需把π4代入曲线的参数方程，得22π28x，22π28y，由此可得对应的点的坐标为22π22π,2828.5.答案：半径为3的圆的渐开线解析：由参数方程的形式可直接得出答案．6.答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)解析：由y＝2得2＝2(1－cost)，∴cost＝0.∵0≤t≤2π，∴π2t或3π2.∴x1＝ππ2sin22＝π－2，2332πsinπ3π222x＝＝＋∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．7.答案：5π2解析：根据渐开线的定义可知，AE是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF是半径为2的14圆周长，长度为π；FG是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.8.答案：(1cos),(sin)xryr(φ为参数)解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出平摆线方程关于直线y＝x的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换．9.解：∵平摆线的生成圆的半径r＝40mm，∴此平摆线的参数方程为40(sin),40(1cos)xttyt(t为参数)，它一拱的拱宽为2πr＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r＝2×40＝80(mm)．10.解：把已知点(3,0)代入参数方程得3(cossin),0(sincos),rr解得0,3.r所以基圆的面积S＝πr2＝π×32＝9π.3
