4.4.3参数方程的应用练习1．过点M(2,1)作曲线C：4cos4sinxy，(θ为参数)的弦，使M为弦的中点，则此弦所在直线方程为__________．2．如图，由圆x2＋y2＝9上的点M向x轴作垂线，交x轴于点N，设P是MN的中点，则点P的轨迹的参数方程是__________．3．点P(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则x＋y的最大值为________，最小值为________．4．椭圆32cos23sinxy，(φ为参数)的焦距是__________．5．参数方程4sin5cosxy(θ为参数)表示的曲线为__________．6．直线cossinxtyt(θ为参数，θ∈[0，π))和圆42cos,2sinxy(α为参数)相切，则θ＝__________.7．已知A，B分别是椭圆221369xy的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，则△ABC的重心G的轨迹的参数方程是__________．8．如图，已知椭圆24x＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．9．设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求：(1)点P(x＋y，xy)的轨迹；(2)点Q(x(x＋y)，y(x＋y))的轨迹．10．已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．1参考答案1.答案：2x＋y－5＝0解析：把曲线C的参数方程化为普通方程为x2＋y2＝16，表示圆心在原点，半径r＝4的圆，∴过点M的弦与线段OM垂直．又12OMk，∴弦所在直线的斜率为－2，∴直线方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.2.答案：3cos3sin2xy，(θ为参数)解析：圆x2＋y2＝9的参数方程为3cos3sinxy，(θ为参数)．∴设M(3cosθ，3sinθ)，P(x，y)，则N(3cosθ，0)．∴3cos3cos3cos23sin3sin22xy，(θ为参数)．3.答案：55解析：因为P点在椭圆2214yx上，所以可设P点的坐标为(cosθ，2sinθ)，即x＝cosθ，y＝2sinθ，所以x＋y＝cosθ＋2sinθ＝5sin(θ＋φ)，其中1tan2.因为sin(θ＋φ)∈[－1,1]，所以x＋y的最大值为5，最小值为5.4.答案：26解析：根据参数方程，可知32a，23b，∴22(32)(23)18126c，∴焦距为226c.5.答案：椭圆解析：参数方程4sin5cosxy(θ为参数)，可化为sin,4()cos5xy为参数.①②①2＋②2，得2211625xy，所以曲线为椭圆．6.答案：π6或5π6解析：直线的参数方程化为普通方程为y＝xtanθ，圆的参数方程化为普通方程为(x－4)2＋y2＝4.由直线与圆相切得圆心到直线的距离2|4tan0|2tan1d，得3tan3，2∴π6或5π6.7.答案：22cosπ1sin2xy为参数，且解析：由于动点C在该椭圆上运动，故可设点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，重心G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6,0)，B(0,3)，由重心坐标公式可知有606cos22cos3033sin1sin3xy，π2为参数，且.8.解：设M(2cosφ，sinφ)，由题意得B1(0，－1)，B2(0,1)．则MB1的方程为sin112cosyx，令y＝0，则2cossin1x，即2cos||1sinOP.MB2的方程为sin112cosyx，∴2cos||1sinOQ.∴2cos2cos||||41sin1sinOPOQ.9.解：(1)设点M(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，点P(x′，y′)，则cossincossinxy①②①2－2×②，得x′2－2y′＝1，即21'22xy，∴所求点P的轨迹为抛物线2122xy的一部分1||2||2xy，.(2)设M(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，点Q(x1，y1)，则2121=coscossincoscossin,=sincossinsincossin,xy∴112111sin2,11sin2sin2.22xyxy将sin2θ＝x1＋y1－1代入另一个方程，整理得2211111.222xy∴所求点Q的轨迹是以11,22为圆心，以22为半径的圆．10.证明：设d1为点M到渐近线y＝x的距离，d2为点M到渐近线y＝－x的距离，因为点M在双曲线x2－y2＝1上，则可设点M的坐标为1,tancos.311tancos2d，21tancos2d，22121tan1cos22dd，故d1与d2的乘积是常数．4
