课后限时集训(二十八)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式an等于()A.B．cosC．cosπD．cosπ[答案]D2．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝()A．2nB．2n－1C．2nD．2n－1C[当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所以数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，所以an＝2n.]3．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝()A.B.C.D.A[由题意知a1·a2＝4，a1·a2·a3＝9，a1a2a3a4＝16，a1a2a3a4a5＝25，则a3＝，a5＝，则a3＋a5＝，故选A.]4．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n－1，则数列{an}的一个通项公式为()A．an＝n－1B．an＝(n－1)2C．an＝(n－1)3D．an＝(n－1)4B[由题意知an－an－1＝2n－3(n≥2)，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋3＋1＝＝(n－1)2.故选B.]5．若数列{an}满足a1＝，an＝1－(n≥2，且n∈N*)，则a2018等于()A．－1B.C．1D．2A[a1＝，a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，….因此数列{an}是以3为周期的数列．从而a2018＝a2＝－1，故选A.]二、填空题6．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n，则数列{an}的通项公式an＝________.n－1[当n＝1时，a1＝S1＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－(n－1)2－(n－1)＝－1.又a1＝适合上式，则an＝n－1.]7．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.[由an＝an－1得＝，∴an＝××…××a1＝××…××1＝.当n＝1时，a1＝1适合上式．故an＝.]8．(2019·合肥模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1(n∈N*)，则a10＝________.256[因为a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，所以Sn＋1－1＝2(Sn－1)，所以{Sn－1}是等比数列，且公比为2，所以Sn－1＝2n－1，所以Sn＝2n－1＋1，所以a10＝S10－S9＝29－28＝256.]三、解答题9．已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.[解](1)因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2.由于a1不适合此式，所以an＝10．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；同理a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝a＋an，①当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.B组能力提升1．已知各项都为正数的数列{an}满足a－an＋1an－2a＝0，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2n－1B．an＝3n－1C．an＝2nD．an＝3nC[∵a－an＋1an－2a＝0，∴(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0.∵数列{an}的各项均为正数，∴an＋1＋an＞0，∴an＋1－2an＝0，即an＋1＝2an(n∈N*)，∴数列{an}是以2为公比的等比数列．∵a1＝2，∴an＝2n.]2．已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为()A．an＝nB．an＝n2C．an＝D．an＝B[∵＋＋…＋＝，∴＋＋…＋＝(n≥2)，两式相减得＝－＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)，①又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合①式，∴an＝n2，n∈N*.故选B.]3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝3Sn，则an＝__________.[由an＋1＝3Sn，得an＝3Sn－1(n≥2)，两式相减可得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an(n≥2)，∴an＋1＝4an(n≥2)．∵a1＝1，a2＝3S1＝3≠4a1，∴数列{an}是从第二项开始的等比数列，∴an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)．故an＝]4．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．[解](1)由n2－5n＋4<0，解得1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．
