高中数学例析函数中的几对易混问题孙明在函数的学习中，经常会遇到条件相似，但在解题方法上存在很大差异的一些问题。下面通过具体例题来分析这些问题。一、定义域与值域例1.已知函数，（1）若的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若的值域为R，求实数a的取值范围。解：（1）的定义域为对任意恒成立。当时，不等式化为，显然不合题意；当时，恒成立解得。综上可得时，函数的定义域为R。（2）令，则函数，的值域为取遍一切正实数值是值域的子集。当时，函数，值域为R；当时，，此时命题解得。综上可得当时，函数的值域为R。评注：定义域为R应转化为不等式恒成立问题；而值域为R应转化为函数的值域包含，即函数值取遍所有的正数。二、值域与范围例2.如果函数的值域为，求实数m的取值范围。解：，即的值域为。由题意，当=0，即或时，函数的值域为。若此题改为：如果函数的值恒为非负数，求m的取值范围。由恒成立，得，解得，故此时实数m的取值范围是。评注：的值恒为非负数是“范围”，而不是“值域”，只要自变量x在定义域内取一切值，所对应的的每一个值都必须大于等于零，但不一定必须取得大于等于零的一切数。而值域为，是指自变量x在定义域内取一切值时，所对应的函数值必须能且只能取到一切大于等于零的数。三、定义域与有意义例3.（1）函数的定义域是，求a的取值范围。（2）函数在上有意义，求a的取值范围。解：（1）。当时，的解集为R，于是的定义域应为R，而不是，故不满足题意。当时，，即的定义域为。又由题设知的定义域为，得，解得。综上可知，满足题意的a的取值范围是。用心爱心专心115号编辑（2）。因在上单调递增，在上的最大值为，所以要使一切都有，只要便可，故a的取值范围为，即。评注：一般地，给定函数的定义域，往往转化为解不等式问题，而给定函数在某区间上有意义，往往转化为恒成立问题。四、有解与恒成立例4.（1）若不等式，在上恒成立，求实数k的取值范围。（2）若不等式，在内有解，求k的取值范围。解：（1）由对恒成立。记，由二次函数在上单调递增，得，所以，即。∴时，对恒成立。（2）在上有解。记。由，知函数与在上都是减函数，所以在上是减函数。∴当时，；当时，。∴时原不等式在上有解。评注：一般地，有解，有解；恒成立，恒成立。（责任编辑郭正华）用心爱心专心115号编辑
