高考大题专项练1高考中的函数与导数高考大题专项练第2页1.已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a>0).若f(x)在[-1,1]上的最小值记为g(a).(1)求g(a);(2)证明:当x∈[-1,1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.(1)解:因为a>0,-1≤x≤1,所以①当0
0,故f(x)在(a,1)上是增函数.所以g(a)=f(a)=a3.②当a≥1时,有x≤a,则f(x)=x3-3x+3a,f'(x)=3x2-3<0.故f(x)在(-1,1)上是减函数,所以g(a)=f(1)=-2+3a.综上,g(a)=(2)证明:令h(x)=f(x)-g(a),①当00.知t(a)在(0,1)上是增函数.所以,t(a)0,所以f(x)在(0,+∞)递增.若a>0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0.所以f(x)在上递增,在上递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)无最大值;当a>0时,f(x)在x=取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.因此f>2a-2等价于lna+a-1<0.令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+∞)上递增,g(1)=0.于是,当01时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).导学号〚32470859〛3.(2015东北三校第二次联考)已知函数f(x)=(2-a)x-2(1+lnx)+a.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间上无零点,求a的最小值.解:(1)当a=1时,f(x)=x-1-2lnx,则f'(x)=1-,定义域为x∈(0,+∞).由f'(x)>0,得x>2,由f'(x)<0,得00;h(x)=2lnx,x>0,则f(x)=m(x)-h(x),①当a<2时,m(x)在上为增函数,h(x)在上为增函数,若f(x)在上无零点,由m(x)和h(x)的图像可知,m≥h,即(2-a)≥2ln,∴a≥2-4ln2,∴2-4ln2≤a<2.②当a≥2时,在上m(x)≥0,h(x)<0,∴f(x)>0,∴f(x)在上无零点.由①②得a≥2-4ln2,∴amin=2-4ln2.导学号〚32470860〛4.(2015保定高三调研)已知函数f(x)=lnx+ax-a2x2(a≥0).(1)若x=1是函数y=f(x)的极值点,求a的值;(2)若f(x)<0在定义域内恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=.因为x=1是函数y=f(x)的极值点,所以f'(1)=1+a-2a2=0,解得a=-或a=1.又a≥0,所以a=-(舍去).经检验当a=1时,x=1是函数y=f(x)的极值点,所以a=1.(2)当a=0时,f(x)=lnx,显然在定义域内不满足f(x)<0恒成立;当a>0时,令f'(x)==0,得x1=-(舍去),x2=,所以f'(x),f(x)的变化情况如下表:xf'(x)+0-f(x)↗极大值↘所以f(x)max=f=ln<0,∴a>1.综上可得实数a的取值范围是(1,+∞).导学号〚32470861〛5.(2015新乡调研)已知函数f(x)=x-(a+1)lnx-(a∈R),g(x)=x2+ex-xex.(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;(2)当a<1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1),所以a的取值范围为.导学号〚32470862〛6.(2015兰州、张掖高三联考)已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx-1.(1)当a=0且b=1时,证明:对任意x>0,f(x)≤g(x);(2)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在递减区间,求a的取值范围.解:(1)证明:当a=0且b=1时,设h(x)=f(x)-g(x)=lnx-(x-1)=lnx-x+1,任意x>0,h'(x)=-1.解h'(x)=0,得x=1.当00,h(x)递增;当x>1时,h'(x)=-1<0,h(x)递减,所以h(x)在x=1处取得最大值,即任意x>0,h(x)≤h(1)=ln1-1+1=0,lnx≤x-1,即f(x)≤g(x).(2)若b=2,h(x)=f(x)-g(x)=lnx-ax2-2x+1,所以h'(x)=-ax-2=-.因为函数h(x)存在递减区间,所以h'(x)<0在(0,+∞)上有解,所以ax2+2x-1>0在(0,+∞)上有解,所以a>在(0,+∞)上有解,即存在x∈(0,+∞),使得a>.令t=,x>0,则t>0,研究y=t2-2t,t>0,当t=1时,ymin=-1,所以a>-1.导学号〚32470863〛
