高中数学一个不等式的推广及应用专题辅导史建军《苏教版·普通高中课程标准实验教科书·选修4~5（不等式选讲）》课本第20页有一道习题：设，求证：。证明：对任意不相等的实数a、b，总有：。注意到原题的不等式两边是齐次式，我们可以从项数和指数两个方面进行推广。命题1若a，b，c，则。证明：对任意a，b，c，总有：展开并移项，即得所证结论。更一般的，有：命题2若，则：。证明：对，总有：。展开并移项，即得所证结论。命题3若a、b、p、q，则证明：事实上，当a、b、p、q，有，展开并移项，即得所证结论。对于三项的情形，我们有：命题4若a、b、c，p、q、r为非负实数，且，则：证明1：由于所证不等式是一个轮换对称式，故可设，有：由以上三式分别得①②③①+②+③得：。证明2：不妨设，则由排序不等式可得上式成立。更一般的，有：命题5若，为非负实数，且，则：。用心爱心专心说明：（1）由排序不等式很容易证明命题5成立，事实上，命题3的a、b，命题4中的a、b、c，命题5中的均为正实数，故均可用排序不等式证明。（2）命题5右端各项中的指数可以是，，…，中任一个，只需各项指数和都等于m。下面举例说明所推广的不等式的应用：例1设a、b、c，证明：。证明：在命题4中取，，则：右边=左边。例2设a、b、c，则。证明：原不等式等价于（两边乘以），由命题3知上式成立。例3在命题5中令，则有。证明：若令，则，则得平均值不等式：。用心爱心专心
