高考解题技术(3)如何求递推数列的通项1、代换法【例1】(2010年重庆理卷21题)在数列中,=1,,其中实数。(1)求的通项公式。(2)(略).【解析】由得,令,则原数列转化为,于是,即.评注:这里求出通项,仍然是使用“叠加法”,但递推式是通过换元发现的。2..配凑法中,,则通项____【解析】由两边加1,得,所以数列是以首项,3为公比的等比数列,也就是,从而得评注:从递推式想到两边各加上1,得到等比形式,这种方法叫做“配凑法”,是一种重要的数学能力。3.待定系数法【例3】(2008,陕西理卷,22题)已知数列的首项,,.(1)求的通项公式;(2)略.1112aaa122133aaaaaa133122444aaaaaaaaa1211111nnnnnnaaaaaaaaa……【解析】将已知式两边取倒数得,,即,令得,比较系数可得,从而是以为首项,为公比的等比数列,故,于是:.评注:原题似有的等比数列之形,却又不是等比数列,也不像例2容易配凑出等比数列,这种情况下可以使用待定系数法加工,使其补足等比数列的条件,继而用等比数列公式求其通项。4、“取倒数”【例4】(2010四月.湖北黄冈等6市.10题)已知数列满足:且,则图中第5行所有数的和是()A.62B.64C.32D.34【解析】递推关系太复杂了,需设法将其简化。第一步:递推关系式的右式,分子的次数高于分母的次数,且分子为单项式,分母为多项式,不便于推理运算,因此考虑取倒数.由;第二步:由以上结果及,知是首项且公差d=1的等差数列.这个“过渡数列”的通项公式是:;第三步:我们发现虽然不是等比数列,但其比值是一个简单的一次式.这种情况适合“叠乘法”求通项:2.已知∴这个数列的通项公式为(n=1也适合).于是“水落石出”,图中第5行所有数的和是:,故选A.评注:解题前,似乎“山穷水复疑无路”,后通过先取倒数后实施叠乘,原来却是“柳暗花明又一村”.5.递推名题——裴波那契数列【例5】如果一对兔子每月能生一对小兔子,而每对小兔在它出生后的第3个月里,又能开始生一对小兔子,假定在不发生死亡的情况下,由一对初生的兔子开始,n个月后能繁殖成多少对兔子?【解析】本题为12世纪意大利数学家裴波那契所拟,以下我们考查这道千古名题的数学含义:由于这对小兔前两个月没有长大,不能生殖,所以前两个月的兔子数都只有一对,也就是:.第3个月,已经长大的小兔可以生殖1对,所以第3个月有2对兔子;第4个月虽然初生的小兔不能生,但原来的大兔又可生一对,所以第4个月有3对兔子;以下,每个月的兔子数都按如下规律递增:上个月的兔子(对)数,加上新生的兔子(对)数(也就是前两个月的兔子数),于是有递推关系:.显然这个数列既非等差数列,也非等比数列。但是它隐含着可用构造法配凑成等比数列的条件:设,即比较(1),(2)得:,消去k:。解这个方程得:.根据,可得:或,这两组解对应可构造两个等比数列,3一个是,所以是以为首项,为公比的等比数列,,1)另一个为,所以是以为首项,为公比的等比数列,,(2)于是(1)-(2)得,,即.小结:学习递推数列的一个重要主题和目标,是找出该数列的通项。具有等差特征的递推数列,常用“叠加法”求其通项;具有等比特征的递推数列,常用“叠乘法”求其通项;特征不明显的递推数列,可以使用代换,取倒数,构造或使用待定系数等使关系明朗后再求其通项。(本文选自《高中数学题根》专题5.数列,向地推寻根)4