高考数学 解题技术（3）如何求递推数列的通项-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

高考解题技术（3）如何求递推数列的通项1、代换法【例1】（2010年重庆理卷21题）在数列中，=1，，其中实数。（1）求的通项公式。（2）（略）．【解析】由得，令，则原数列转化为，于是，即．评注：这里求出通项，仍然是使用“叠加法”，但递推式是通过换元发现的。2..配凑法中，，则通项＿＿＿＿【解析】由两边加1，得，所以数列是以首项，3为公比的等比数列，也就是，从而得评注：从递推式想到两边各加上1，得到等比形式，这种方法叫做“配凑法”，是一种重要的数学能力。3.待定系数法【例3】（2008，陕西理卷，22题）已知数列的首项，，．（1）求的通项公式；（2）略．1112aaa122133aaaaaa133122444aaaaaaaaa1211111nnnnnnaaaaaaaaa……【解析】将已知式两边取倒数得，，即，令得，比较系数可得，从而是以为首项，为公比的等比数列，故，于是：.评注：原题似有的等比数列之形，却又不是等比数列，也不像例2容易配凑出等比数列，这种情况下可以使用待定系数法加工，使其补足等比数列的条件，继而用等比数列公式求其通项。4、“取倒数”【例4】（2010四月.湖北黄冈等6市.10题）已知数列满足：且,则图中第5行所有数的和是（）A.62B.64C.32D.34【解析】递推关系太复杂了，需设法将其简化。第一步：递推关系式的右式,分子的次数高于分母的次数,且分子为单项式,分母为多项式,不便于推理运算,因此考虑取倒数.由；第二步：由以上结果及,知是首项且公差d=1的等差数列.这个“过渡数列”的通项公式是：；第三步：我们发现虽然不是等比数列,但其比值是一个简单的一次式.这种情况适合“叠乘法”求通项：2．已知∴这个数列的通项公式为（n=1也适合）．于是“水落石出”,图中第5行所有数的和是：，故选A.评注：解题前，似乎“山穷水复疑无路”，后通过先取倒数后实施叠乘，原来却是“柳暗花明又一村”.5.递推名题——裴波那契数列【例5】如果一对兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月里，又能开始生一对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由一对初生的兔子开始，n个月后能繁殖成多少对兔子？【解析】本题为12世纪意大利数学家裴波那契所拟，以下我们考查这道千古名题的数学含义：由于这对小兔前两个月没有长大，不能生殖，所以前两个月的兔子数都只有一对，也就是：.第3个月，已经长大的小兔可以生殖1对，所以第3个月有2对兔子；第4个月虽然初生的小兔不能生，但原来的大兔又可生一对，所以第4个月有3对兔子；以下，每个月的兔子数都按如下规律递增：上个月的兔子（对）数，加上新生的兔子（对）数（也就是前两个月的兔子数），于是有递推关系：.显然这个数列既非等差数列，也非等比数列。但是它隐含着可用构造法配凑成等比数列的条件：设，即比较（1），（2）得：，消去k：。解这个方程得：.根据，可得：或，这两组解对应可构造两个等比数列，3一个是，所以是以为首项，为公比的等比数列，，1）另一个为，所以是以为首项，为公比的等比数列，，（2）于是（1）－（2）得，，即．小结：学习递推数列的一个重要主题和目标，是找出该数列的通项。具有等差特征的递推数列，常用“叠加法”求其通项；具有等比特征的递推数列，常用“叠乘法”求其通项；特征不明显的递推数列，可以使用代换，取倒数，构造或使用待定系数等使关系明朗后再求其通项。（本文选自《高中数学题根》专题5.数列,向地推寻根）4