2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆教师用书文北师大版1．椭圆的概念把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若ab>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2【知识拓展】点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(√)(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(√)(5)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(×)(6)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(√)1．(教材改编)椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于()A．4B．8C．4或8D．12答案C解析由题意知或解得m＝4或m＝8.2．(2015·广东)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m等于()A．2B．3C．4D．9答案B解析由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.3．(2016·全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案B解析如图，由题意得|BF|＝a，|OF|＝c，|OB|＝b，|OD|＝×2b＝b.在Rt△FOB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·b，解得a＝2c，故椭圆离心率e＝＝，故选B.4．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案D解析由题意知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为＋＝1.5．(教材改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．答案或解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P点坐标为或.题型一椭圆的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹例1(2016·济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆答案A解析由条件知|PM|＝|PF|，∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．命题点2利用待定系数法求椭圆方程例2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_______________________________________．(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为_______________________________________．答案(1)＋y2＝1或＋＝1(2)＋＝1解析(1)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)， 椭圆过P(3,0)，∴＋＝1，即a＝3，又2a＝3×2b，∴b＝1，方程为＋y2＝1.若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)． 椭圆过点P(3,0)，∴＋＝1，即b＝3.又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1.∴所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)． 椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．则①②两式联立，解得∴所求椭圆方程为＋＝1.命题点3利用定义解决“焦点三角形”问题例3已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2...
