常考问题17计数原理、随机变量及其分布列(建议用时：80分钟)1．(·无锡五校联考)无锡学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ξ＞0)＝.(1)求文娱队的队员人数；(2)写出ξ的概率分布列并计算E(ξ)．解设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7－x)人，只会一项的人数是(7－2x)人．(1) P(ξ＞0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝，∴P(ξ＝0)＝，即＝.∴＝，解得x＝2.故文娱队共有5人．(2)P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，ξ的概率分布列为ξ012P∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.2．(·徐州质检)一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分．经过多次试验，某人投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋．(1)求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率；(2)求该人两次投掷后得分ξ的数学期望Eξ.解(1)“”“”“”飞碟投入红袋，飞碟投入蓝袋，飞碟不入袋分别记为事件A，B，C.则P(A)＝＝，P(B)＝P(C)＝＝.因每次投掷飞碟为相互独立事件，故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为P4(3)＝C3＝.(2)两次投掷得分ξ的得分可取值为0,1,2,3,4则：P(ξ＝0)＝P(C)P(C)＝；P(ξ＝1)＝CP(B)P(C)＝2××＝；P(ξ＝2)＝CP(A)P(C)＋P(B)P(B)＝；P(ξ＝3)＝CP(A)P(B)＝；P(ξ＝4)＝P(A)P(A)＝.∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.3．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ.解(1)“”设至少有一个系统不发生故障为事件C，那么1－P()＝1－·p＝.解得p＝.(2)由题意，P(ξ＝0)＝C3＝，P(ξ＝1)＝C2·＝，P(ξ＝2)＝C·2＝，P(ξ＝3)＝C3＝.所以，随机变量ξ的概率分布列为ξ0123P故随机变量ξ的数学期望：E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.4．(·苏北四市模拟)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在一次游戏中①摸出3个白球的概率；②获奖的概率．(2)求在两次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．解(1)①“设在1次游戏中摸出i”个白球为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝·＝.②“设在1次游戏中获奖为事件B”则B＝A2∪A3，又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝2＝；P(X＝1)＝C＝；P(X＝2)＝2＝.所以X的分布列是X012PX的数学期望是E(X)＝0×＋1×＋2×＝.5．(·西安惠安中学模拟)形状如图所示的三个游戏盘中(图①是正方形，M，N分别是所在边中点，图②是半径分别为2和4的两个同心圆，O为圆心，图③是正六边形，点P为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．(1)一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？(2)用随机变量X表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．解(1)“”一局游戏后，这三个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件A1，A2，A3.由题意知，A1，A2，A3互相独立，且P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)“＝，所以一局游戏后，”这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率为P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)·P(A3)＝××＝.(2)一局游戏后，这三个盘中的小球停在阴影部分的事件数可能是0,1,2,3，相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3,2,1,0，所以X可能的取值为1,3.由分析可得P(X＝3)＝P(A1A2A3)＋P(123)＝P(A1)·P(A2)P(A3)＋P(1)P(2)P(3)＝××＋××＝；P(X＝1)＝1－＝.所以X的分布列为X13P6．(·南师附中信息卷)为拉动经济增长，某市决定新建一批基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目个数分别占总数的，，，现在3名工人独立地从...
