第3讲二项式定理分层训练A级基础达标演练(时间:30分钟满分:60分)一、填空题(每小题5分,共30分)1.(·陕西卷改编)(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是________.解析Tr+1=C(22x)6-r(-2-x)r=(-1)rC·(2x)12-3r,r=4时,12-3r=0,故第5项是常数项,T5=(-1)4C=15.答案152.若二项式n的展开式中第5项是常数项,则正整数n的值可能为________.解析Tr+1=C()n-rr=(-2)rCx,当r=4时,=0,又n∈N*,∴n=12.答案123.(·天津改编)在6的二项展开式中,x2的系数为________.解析在6的展开式中,第r+1项为Tr+1=C6-rr=C6-rx3-r(-2)r,当r=1时为含x2的项,其系数是C5(-2)=-.答案-4.已知8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是________.解析由题意知C·(-a)4=1120,解得a=±2,令x=1,得展开式各项系数和为(1-a)8=1或38.答案1或385.设n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,则展开式中x的系数为________.解析由已知条件4n-2n=240,解得n=4,Tr+1=C(5x)4-rr=(-1)r54-rCx4-,令4-=1,得r=2,T3=150x.答案1506.已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)的值等于________.解析已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=1,则0=a0+a1+a2+a3+a4+a5,令x=-1,则25=a0-a1+a2-a3+a4-a5.∴a0+a2+a4=-(a1+a3+a5)=16.则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-256.答案-256二、解答题(每小题15分,共30分)7.已知n,(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.解(1) C+C=2C,∴n2-21n+98=0.∴n=7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为C423=,T5的系数为C324=70,当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数为C727=3432.(2) C+C+C=79,∴n2+n-156=0.∴n=12或n=-13(舍去).设Tk+1项的系数最大, 12=12(1+4x)12,∴∴9.4≤k≤10.4,∴k=10.∴展开式中系数最大的项为T11,T11=C·2·210·x10=16896x10.8.在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和.(1)试用组合数表示这个一般规律;(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和;(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是3∶4∶5,并证明你的结论.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561解(1)C=C+C.(2)1+2+22…++2n=2n+1-1.(3)设C∶C∶C=3∶4∶5,由=,得=,即3n-7r+3=0,①由=,得=,即4n-9r-5=0②解①②联立方程组得,n=62,r=27,即C∶C∶C=3∶4∶5.分层训练B级创新能力提升1.(·四川卷)6的展开式中的第四项是________.解析6的展开式中第4项为T3+1=C23·3=-.答案-2.(·安徽卷)设(x-1)21=a0+a1x+a2x2…++a21x21,则a10+a11=________.解析Tr+1=Cx21-r(-1)r=(-1)rCx21-r,由题意知a10,a11分别是含x10和x11项的系数,所以a10=-C,a11=C,∴a10+a11=C-C=0.答案03.(·浙江卷)设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a的值是________.解析对于Tr+1=Cx6-rr=C(-a)rx6-r,B=C(-a)4,A=C(-a)2. B=4A,a>0,∴a=2.答案24.(·新课标全国卷改编)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为________.解析令x=1,由已知条件1+a=2,则a=1.5=C(2x)5+C(2x)4+C(2x)32+C(2x)2·3+C(2x)4+5=32x5-80x3+80x-40+10-,则常数项为40.答案405.(·天一中学,淮阴中学,海门中学调研)把所有正整数按上小下大,左小右大的原则排成如图所示的数表,其中第i行共有2i-1个正整数,设aij(i,j∈N*)表示位于这个数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数.(1)求a69的值;(2)用i,j表示aij;(3)记An=a11+a22+a33…++ann(n∈N*),求证:当n≥4时,An>n2+C.123456789101112131415……………(1)解a6...