第3讲二项式定理分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(·陕西卷改编)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是________．解析Tr＋1＝C(22x)6－r(－2－x)r＝(－1)rC·(2x)12－3r，r＝4时，12－3r＝0，故第5项是常数项，T5＝(－1)4C＝15.答案152．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为________．解析Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx，当r＝4时，＝0，又n∈N*，∴n＝12.答案123．(·天津改编)在6的二项展开式中，x2的系数为________．解析在6的展开式中，第r＋1项为Tr＋1＝C6－rr＝C6－rx3－r(－2)r，当r＝1时为含x2的项，其系数是C5(－2)＝－.答案－4．已知8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是________．解析由题意知C·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.答案1或385．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为________．解析由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－，令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.答案1506．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．解析已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，则0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，令x＝－1，则25＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.∴a0＋a2＋a4＝－(a1＋a3＋a5)＝16.则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.答案－256二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解(1) C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为C423＝，T5的系数为C324＝70，当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数为C727＝3432.(2) C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大， 12＝12(1＋4x)12，∴∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.∴展开式中系数最大的项为T11，T11＝C·2·210·x10＝16896x10.8．在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．(1)试用组合数表示这个一般规律；(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论．第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561解(1)C＝C＋C.(2)1＋2＋22…＋＋2n＝2n＋1－1.(3)设C∶C∶C＝3∶4∶5，由＝，得＝，即3n－7r＋3＝0，①由＝，得＝，即4n－9r－5＝0②解①②联立方程组得，n＝62，r＝27，即C∶C∶C＝3∶4∶5.分层训练B级创新能力提升1．(·四川卷)6的展开式中的第四项是________．解析6的展开式中第4项为T3＋1＝C23·3＝－.答案－2．(·安徽卷)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋a21x21，则a10＋a11＝________.解析Tr＋1＝Cx21－r(－1)r＝(－1)rCx21－r，由题意知a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C，a11＝C，∴a10＋a11＝C－C＝0.答案03．(·浙江卷)设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．解析对于Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2. B＝4A，a＞0，∴a＝2.答案24．(·新课标全国卷改编)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．解析令x＝1，由已知条件1＋a＝2，则a＝1.5＝C(2x)5＋C(2x)4＋C(2x)32＋C(2x)2·3＋C(2x)4＋5＝32x5－80x3＋80x－40＋10－，则常数项为40.答案405．(·天一中学，淮阴中学，海门中学调研)把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2i－1个正整数，设aij(i，j∈N*)表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数．(1)求a69的值；(2)用i，j表示aij；(3)记An＝a11＋a22＋a33…＋＋ann(n∈N*)，求证：当n≥4时，An>n2＋C.123456789101112131415……………(1)解a6...
