高二数学双曲线及其标准方程【教学目标】知识与能力：使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导；在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生分析、归纳、推理等能力。过程与方法：通过媒体演示，让学生感悟双曲线的形成和发生；通过学生对双曲线标准方程推导过程要点的叙述，使学生巩固轨迹方程求解的一般方法。通过例题的剖析，使学生加深对双曲线标准方程的理解。情感态度与价值观：在教师的引导下，注重学生的自我体验，注重培养学生的探究精神。【教材分析】重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．（通过多媒体演示，让学生理解双曲线定义）难点：双曲线的标准方程的推导．(解决办法：引导学生叙述完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．)【教学过程】问题引入：前面我们一起研究了椭圆的定义，标准方程，几何性质，请大家回忆一下：椭圆的定义是什么？————引出与两个定点的距离差的绝对值为常数的轨迹又是什么曲线呢？1、探究实验：利用多媒体演示（并加以说明）：当该常数<|F1F2|时，轨迹为双曲线；当该常数=|F1F2|时，轨迹为两条射线。2、双曲线的定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。注意：1）要在平面内2）距离差的绝对值为常数3）该常数要<3、求双曲线的标准方程：设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？请学生按照双曲线的定义参照求椭圆标准方程的步骤去求解双曲线的标准方程。用心爱心专心115号编辑(1)建立坐标系设动点取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图)建立直角坐标系．设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a．(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合P：P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代数方程(4)化简方程：将这个方程移项，两边平方得：用心爱心专心115号编辑化简得：由定义代入，得：，两边同除得：，此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是，其中如果焦点坐标为F1(0,c)，F2(0,-c)，其标准方程又是什么呢？（）那么：椭圆与双曲线的标准方程有什么异同？1）从定义；2)a、b、c的关系；3)标准方程来加以说明。（演示）椭圆双曲线根据根据令令（）（）设问：知道双曲线的标准方程，如何写出焦点坐标？练习：(1)已知双曲线的标准方程是，则焦点坐标是________；焦距是_____________。(2)以椭圆的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程为。那么，如何去判断焦点的位置呢？（引导：椭圆的标准方程哪个二次项的分母大，焦点就在哪个相应的轴上，请同学们类比看看）4、反思应用：例1、（1）方程||=6表示什么曲线？（2）方程=6表示什么曲线？（3）方程=8表示什么曲线？用心爱心专心115号编辑例2、已知且焦点在x轴上，求双曲线的标准方程。变式训练1：c=4,且经过点，焦点在x轴上.变式训练2：过点P（3，），Q（-，5）且焦点在坐标轴上.师：（提示）大家想一想，在椭圆中，若椭圆经过两个点，求它的标准方程时，我们是如何设方程的？生：设椭圆的方程为师：那双曲线呢？生：设双曲线的方程为∵P、Q两点在双曲线上∴解得∴所求双曲线方程为5、回顾与思考：（1）到两个定点A、B的距离相等的点的轨迹是；（2）到两个定点距离之和为常数的点的轨迹为；（3）到两个定点A、B距离之差的绝对值为常数的点的轨迹为；（4）到两个定点A(-2,0)、B(2,0)的距离之比等于常数a（a≠1）的点的轨迹为；（5）到两个定点A(-2,0)、B(2,0)连线的斜率之积为常数a的点的轨迹是什么？【归纳与总结】本节课学习的主要内容是什么？（1）双曲线的定义、焦点、标准方程等基本知识及其相互联系；（2）掌握用坐标法求曲线方程的方法，要注意选好坐标系的恰当位置。我们用到了哪些数学思想和数学方法：数形结合思想、分类讨论思想；坐标法、待定系数法、定义法等。用心爱心专心115号编辑作业：2006．11．用心爱心专心115号编辑
