4.3两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式教师专用真题精编1.(2018课标全国Ⅲ理,4,5分)若sinα=13,则cos2α=()A.89B.79C.-79D.-89答案B本题考查三角恒等变换.由sinα=13,得cos2α=1-2sin2α=1-2×(13)2=1-29=79.故选B.2.(2018课标全国Ⅰ理,16,5分)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是.答案-3√32解析解法一:由f(x)=2sinx+sin2x,得f'(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2,令f'(x)=0,得cosx=12或cosx=-1,可得当cosx∈(-1,12)时,f'(x)<0,f(x)为减函数;当cosx∈(12,1)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,所以当cosx=12时,f(x)取最小值,此时sinx=±√32.又因为f(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),1+cosx≥0恒成立,∴f(x)取最小值时,sinx=-√32,∴f(x)min=2×(-√32)×(1+12)=-3√32.解法二:f(x)=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),∴f2(x)=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3.令cosx=t,t∈[-1,1],设g(t)=4(1-t)(1+t)3,∴g'(t)=-4(1+t)3+12(1+t)2(1-t)=4(1+t)2(2-4t).当t∈(-1,12)时,g'(t)>0,g(t)为增函数;1当t∈(12,1)时,g'(t)<0,g(t)为减函数.∴当t=12时,g(t)取得最大值274,即f2(x)的最大值为274,得f(x)的最大值为3√32,又f(x)=2sinx+sin2x为奇函数,∴f(x)的最小值为-3√32.解法三:∵f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx)=8sinx2cos3x2.∴f2(x)=64·sin2x2·cos2x2·cos2x2·cos2x2=643·3sin2x2·cos2x2·cos2x2·cos2x2≤643(3sin2x2+cos2x2+cos2x2+cos2x24)4=274.当且仅当3sin2x2=cos2x2,即sin2x2=14,cos2x2=34时等号成立,所以f2(x)的最大值为274,则f(x)的最大值为3√32,又f(x)=2sinx+sin2x为奇函数,∴f(x)的最小值为-3√32.3.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tanα=43,cos(α+β)=-√55.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.解析本小题主要考查同角三角函数关系、两角差及二倍角的三角函数,考查运算求解能力.(1)因为tanα=43,tanα=sinαcosα,所以sinα=43cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=925,所以cos2α=2cos2α-1=-725.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-√55,2所以sin(α+β)=√1-cos2(α+β)=2√55,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=43,所以tan2α=2tanα1-tan2α=-247.因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=-211.3
