第二节二项式定理利用二项展开式的通项求特定项或特定项的系数考向聚焦利用二项展开式的通项公式求展开式中的某些特定项(常数项、有理项)或特定项的系数、二项式系数及项的系数的最值问题,几个二项式积的展开式中某项的系数是重点和热点内容,几乎每年高考必考,主要以选择题和填空题的形式出现,难度为中、低档,所占分值5分左右备考指津二项展开式的通项集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化,利用它求展开式的某些特定项及其系数,常把问题归纳为解方程(组)或不等式(组)来解决,要注意n∈N*,r∈N且r≤n1.(年重庆卷,理4,5分)(+)8的展开式中常数项为()(A)(B)(C)(D)105解析:因为(+)8的展开式的通项为Tr+1=·()r=x4-r,令4-r=0,得r=4,故常数项为=.故选B.答案:B.2.(年天津卷,理5,5分)在(2x2-)5的二项展开式中,x的系数为()(A)10(B)-10(C)40(D)-40解析:本小题考查二项展开式的特定项,属容易题.因为(2x2-)5的展开式的通项为Tr+1=(2x2)5-r(-)r=25-r(-1)rx10-3r,令10-3r=1得r=3,所以x的系数为25-3(-1)3=-40.故选D.答案:D.3.(年四川卷,理1,5分)(1+x)7的展开式中x2的系数是()(A)42(B)35(C)28(D)21解析:(1+x)7的展开式的通项为Tr+1=xr,令r=2得x2的系数为=21.故选D.答案:D.4.(年安徽卷,理7,5分)(x2+2)(-1)5的展开式的常数项是()(A)-3(B)-2(C)2(D)3解析:本题考查二项式定理的应用,考查二项展开式中常数项的求解.第一个因式取x2,第二个因式取得系数为1×(-1)4=5,第一个因式取2,第二个因式取()0(-1)5得:2×(-1)5=-2展开式的常数项是5+(-2)=3.答案:D.对于二项式展开式问题,一般情况下是根据条件,利用二项式展开式公式直接求解.本题要结合前一个因式确定需要展开式中的哪些项,然后求出这些项,再与前一个因式相乘即可得出结论.5.(年福建卷,理6)(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于()(A)80(B)40(C)20(D)10解析:展开式通项Tr+1=(2x)r=2r·xr,令r=2,则x2的系数为22=40,选B.答案:B.6.(年陕西卷,理4)(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是()(A)-20(B)-15(C)15(D)20解析:(4x-2-x)6的展开式的通项为Tr+1=(4x)6-r(-2-x)r=(-1)r2(12-2r-r)x=(-1)r2(12-3r)x,令12-3r=0得r=4,故常数项为(-1)4==15.故选C.答案:C.7.(年天津卷,理5)在(-)6的二项展开式中,x2的系数为()(A)-(B)(C)-(D)解析: Tr+1=()6-r·(-)r=(-1)r22r-6x3-r(r=0,1,2,…,6),令3-r=2得r=1.∴x2的系数为(-1)12-4=-,故选C.答案:C.8.(年全国卷Ⅰ,理5)(1+2)3(1-)5的展开式中x的系数是()(A)-4(B)-2(C)2(D)4解析:(1+2)3的展开式通项为Tr+1=·(2)r=2r·,(1-)5的展开式通项为Tm+1=(-)m=(-1)m·,其中r,m∈N,0≤r≤3,0≤m≤5.(1+2)3(1-)5的展开式中的项为2r·(-1)m=2r(-1)m(0≤r≤3,0≤m≤5),当+=1时为x项,则系数为,时的项系数和,即·4-=12-10=2.故选C.答案:C.9.(年全国大纲卷,理15,5分)若(x+)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为.解析:根据已知条件可知=,∴n=8, (x+)8展开式中的通项公式为Tr+1=x8-2r,令8-2r=-2,∴r=5.∴=56即为所求.答案:5610.(年广东卷,理10,5分)(x2+)6的展开式中x3的系数为.(用数字作答)解析:(x2)r()6-r=x2r·x-(6-r)=x3r-6,当3r-6=3,r=3时,有x3,x3的系数为==20.答案:2011.(年上海数学,理5,4分)在(x-)6的二项展开式中,常数项等于.解析:二项展开式的通项为Tr+1=x6-r(-)r=(-2)rx6-2r,令6-2r=0得,r=3,所以二项展开式的常数项为T4=(-2)3=-160.答案:-16012.(年湖南卷,理13,5分)(2-)6的二项展开式中的常数项为.(用数字作答)解析:根据通项公式Tk+1=(2)6-k(-)k=(-1)k·26-k·x3-k,令3-k=0,k=3,所以常数项T4=(-1)3··23=-160.答案:-160在研究二项展开式中特殊项时,一般要先考虑通项公式,在项数不多时也可用二项展开式.13.(年广东卷,理10)x(x-)7的展开式中,x4的系数是.(用数字作答)解析:(x-)7的展开式的通项Tr+1=x7-r(-)r=x7-2r,则求x4的系数也就是求Tr+1中x3的系数,令7-2r=3,得r=2,∴原式中x4的系数为(-2)2=84.答案:8414.(年辽宁卷,理13)(1+x+x2)(x-)6的展开式中的常数项为.解析:二项式(x-)6的展开式的通项为Tr+1=x6-r(-)r=(-1)rx6-2r,其中r=0,1,2,…,6,因此展开式中只会出现x6,x4,x2,x0,x-2,x-4,x-6项,要想得到(1+x+x2)(x-)6...