【成才之路】-学年高中数学2.2空间向量的运算基础达标北师大版选修2-1一、选择题1．(·湖北省襄阳五中月考)在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量BA1与向量AC所成的角为()A．60°B．150°C．90°D．120°[答案]D[解析]由条件知，|BA1|＝a，|AC|＝a，BA1·AC＝(AA1－AB)·(AB＋AD)＝AA1·AB－|AB|2＋AA1·AD－AB·AD＝－|AB|2－AB·AD＝－a2，∴cos〈BA1，AC〉＝＝＝－.∴向量BA1与AC所成的角为120°，故选D.2．正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为BD1的是()①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－DD1；④(B1D1－A1A)＋DD1A．①②B．②③C．③④D．①④[答案]A[解析]①(A1D1－A1A)－AB＝AD1－AB＝BD1；②(BC＋BB1)－D1C1＝BC1－D1C1＝BD1；③(AD－AB)－DD1＝BD－DD1＝B1D；④(B1D1－A1A)＋DD1＝BD1＋DD1.故选A.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：①(AA1＋AD＋AB)2＝3AB2；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③AD1与A1B的夹角为60°.其中正确命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．0个[答案]B[解析]根据数量积的定义知：①②正确，AD1与A1B的夹角为120°，∴③不正确，故选D.二、填空题4．已知四边形ABCD为矩形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，G为△PCD的重心，若AG＝xAB＋yAD＋zAP，则x＝________，y＝________，z＝________.[答案][解析]AG＝AP＋PG＝AP＋[(AD－AP)＋(AD＋AB－AP)]＝AP＋(AD－AP＋AD＋AB－AP)＝AP＋AD＋AB.∴x＝，y＝，z＝.5．已知Rt△OAB中，∠AOB为直角，OA与OB的长度都为2，CB垂直于三角形OAB确定的平面，且3|BC|＝|AB|，则向量BC的模是________．[答案][解析]AB的模为2，根据题中条件，可得|BC|＝|AB|，即BC的模为.三、解答题6．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是C1D1、D1D的中点，若正方体的棱长为1.(1)求〈CE，AF〉的余弦值；(2)求证：BD1⊥EF.[解析](1)AF＝AD＋DF＝AD＋AA1，CE＝CC1＋C1E＝AA1＋CD＝AA1－AB. AB·AD＝0，AB·AA1＝0，AD·AA1＝0，∴CE·AF＝(AA1－AB)·(AD＋AA1)＝，又|AF|＝|CE|＝，∴cos〈CE，AF〉＝，(2)证明：BD1＝BD＋DD1＝AD－AB＋AA1，EF＝ED1＋D1F＝－(AB＋AA1)，∴BD1·EF＝0，∴BD1⊥EF.一、选择题1.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是()A．a＋b＋cB．－a＋b＋cC．a－b＋cD．－a－b＋c[答案]B[解析]B1M＝B1B＋BM＝A1A＋BD＝A1A＋(AD－AB)＝A1A＋A1D1－A1B1＝－a＋b＋c.2．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定[答案]B[解析]BD＝AD－AB，BC＝AC－AB，BD·BC＝(AD－AB)·(AC－AB)＝AD·AC－AD·AB－AB·AC＋|AB|2＝|AB|2>0，∴cos∠CBD＝cos〈BC，BD〉＝>0，∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，∴△BCD为锐角三角形．3．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则AF等于()A．AA′＋AB＋ADB．AA′＋AB＋ADC．AA′＋AB＋ADD．AA′＋AB＋AD[答案]D[解析]由条件AF＝EF知，EF＝2AF，∴AE＝AF＋EF＝3AF，∴AF＝AE＝(AA′＋A′E)＝(AA′＋A′C′)＝AA′＋(A′D′＋A′B′)＝AA′＋AD＋AB.4．已知，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′等于()A．85B．C．5D．50[答案]B[解析]AC′＝AB＋AD＋AA′，∴|AC′|＝＝＝.5．如图，正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么()A．AE·BC
AE·CDD．AE·BC与AE·CD不能比较大小[答案]C[解析] AE·BC＝(AB＋AC)·(AC－AB)＝(|AB|2－|AC|2)＝0，AE·CD＝(AB＋BE)·CD＝AB·(BD－BC)＋BC·CD＝|AB|·|BD|·cos120°－|AB|·|BC|cos120°＋|BC|·|CD|cos120°<0.∴AE·BC>AE·CD.二、填空题6．已知空间四边形ABCD，则AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝________.[答案]0[解析]AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝AB·CD＋BC·(AB＋BD)＋CA·BD＝AB·(BC＋CD)＋BD·(BC＋CA)＝AB·BD＋BD·BA＝BD·(BA－BA)＝0.7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为矩形...
